Giải bài 1.9 trang 10

Đề bài

Một con lắc lò xo, gồm một vật nặng có khối lượng $1$ kg được gắn vào một lò xo được cố định một đầu, dao động điều hòa với biên độ $A = 0, 24$ m và chu kì $T = 4$ giây. Vị trí $x$ (mét) của vật tại thời điểm $t$ được cho bởi $x (t) = A \cos (ω t)$ , trong đó $ω = \frac{2 π}{T}$ là tần số góc và thời gian $t$ tính bằng giây.

a) Tìm vị trí của vật tại thời điểm $t$ và tại thời điểm $t = 0, 5$ giây.

b) Tìm vận tốc $v$ của vật tại thời điểm $t$ giây và tìm vận tốc của vật khi $t = 0, 5$ giây.

c) Tìm gia tốc $a$ của vật.

d) Sử dụng định luật thứ hai của Newton $F = m a$ , tìm độ lớn và hướng của lực tác dụng lên vật khi $t = 0, 5$ giây.

e) Tìm thời gian tối thiểu để vật chuyển động từ vị trí ban đầu đến vị trí $x = - 0, 12$ m. Tìm vận tốc của vật khi $x = - 0, 12$ m.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tính tần số góc $ω$ theo công thức trong đề bài, sau đó thay vào công thức $x (t)$ -vị trí của vật tại thời điểm $t$ .

Ý a: Tính $x (0, 5)$ .

Ý b: Tìm công thức vận tốc $v (t) = x^{'} (t)$ sau đó tính vận tốc của vật tại thời điểm $t = 0, 5$ giây là $v (0, 5)$ .

Ý c: Tính gia tốc $a = v^{'} (t)$ .

Ý d: Tính $F (0, 5) = m \cdot a (0, 5)$ với $m = 1$ . Lấy giá trị tuyệt đối của kết quả vừa tính ta thu được độ lớn của lực, còn hướng của lực dựa trên dấu của kết quả $F (0, 5)$ đã tính, nếu âm thì ngược hướng và ngược lại.

Ý e: Kiểm tra xem vị trí ban đầu $x (0)$ có trùng với $x = - 0, 12$ không (so sánh). Nếu không trùng thì giải phương trình lượng giác $x (t) = 0, 24 \cos \frac{π t}{2} = - 0, 12$ để tìm $t$ , sau đó tìm xem $t$ dương nhỏ nhất là bao nhiêu.

Lời giải chi tiết

Ta có $ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{4} = \frac{π}{2}$ . Suy ra $x (t) = A \cos (ω t) = 0, 24 \cos \frac{π t}{2}$

a) Vị trí của vật tại thời điểm $t = 0, 5$ giây là $x (0, 5) = 0, 24 \cos \frac{0, 5 π}{2} = \frac{3}{25} \sqrt{2}$ (m)

b) Vận tốc của vật là $v (t) = x^{'} (t) = - 0, 12 π \sin \frac{π t}{2}$ (m/s).

Vận tốc của vật tại thời điểm $t = 0, 5$ giây là $v (0, 5) = - 0, 12 π \sin \frac{0, 5 π}{2} = \frac{- 3}{50} π \sqrt{2}$ (m/s).

c) Gia tốc của vật là $a = v^{'} (t) = - \frac{3}{50} π^{2} \cos \frac{π t}{2}$ (m/s²)

d) Lực tác dụng lên vật tại thời điểm $t = 0, 5$ giây là

$F (0, 5) = m \cdot a (0, 5) = 1 \cdot (- \frac{3}{50} π^{2} \cos \frac{π \cdot 0, 5}{2}) = - \frac{3 π^{2} \sqrt{2}}{100}$ (N)

Vậy độ lớn của lực tác dụng lên vật tại thời điểm $t = 0, 5$ giây là $\frac{3 π^{2} \sqrt{2}}{100}$ (N) và có hướng ngược với chiều dương của trục đã chọn.

e) Vị trí ban đầu của vật là $x (0) = 0, 24$ (m) do đó vị trí ban đầu không trùng với vị trí $x = - 0, 12$ m.

Xét vị trí $x = - 0, 12$ m ta có: $x (t) = 0, 24 \cos \frac{π t}{2} = - 0, 12 \Leftrightarrow \cos \frac{π t}{2} = - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{π t}{2} = \frac{2 π}{3} + k 2 π, k \in Z$ $\Leftrightarrow t = \frac{4}{3} + 4 k, k \in Z$ .

Ta có $t > 0$ , do đó $t$ dương nhỏ nhất khi $k = 0$ hay $t = \frac{4}{3}$ .

Vậy thời gian tối thiểu để vật chuyển động từ vị trí ban đầu đến vị trí $x = - 0, 12$ m là $t = \frac{4}{3}$ giây.