Giải bài 1 trang 105, 106 vở thực hành Toán 9

Cho đường tròn (O; 4cm) và ba điểm A, B, C trên đường tròn đó sao cho tam giác ABC cân tại đỉnh A và số đo của cung nhỏ BC bằng ({70^o}). a) Giải thích tại sao hai cung nhỏ AB và AC bằng nhau. b) Tính độ dài của các cung BC, AB và AC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đề bài

Cho đường tròn (O; 4cm) và ba điểm A, B, C trên đường tròn đó sao cho tam giác ABC cân tại đỉnh A và số đo của cung nhỏ BC bằng $70^{o}$ .

a) Giải thích tại sao hai cung nhỏ AB và AC bằng nhau.

b) Tính độ dài của các cung BC, AB và AC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Chứng minh $Δ O A B = Δ O A C (c . c . c)$ . Suy ra $\hat{A O B} = \hat{A O C}$ .

+ Từ đó suy ra hai cung nhỏ $\overset{⌢}{A B}$ và $\overset{⌢}{A C}$ bằng nhau.

b) + Từ giả thiết $s đ \overset{⌢}{B C} = 70^{o}$ , ta có: Độ dài cung BC là $l_{B C} = \frac{s đ \overset{⌢}{B C}}{180} . π R$

+ Do A thuộc cung lớn BC nên $s đ \overset{⌢}{A B} + s đ \overset{⌢}{A C} = 2. s đ \overset{⌢}{A B} = s đ \overset{⌢}{B C}$ _lớn

+ Từ đó tính được $s đ \overset{⌢}{A B} = s đ \overset{⌢}{A C}$ .

+ Tính được độ dài mỗi cung nhỏ AB và AC.

Lời giải chi tiết

(H.5.16)

a) Hai tam giác OAB và OAC có:

OA là cạnh chung;

$A B = A C$ ( $Δ A B C$ cân tại A);

$O A = O B$

Do đó, $Δ O A B = Δ O A C (c . c . c)$ . Suy ra $\hat{A O B} = \hat{A O C}$ .

Lại có, cung nhỏ AB bị chắn bởi góc ở tâm $\hat{A O B}$ ; cung nhỏ AC bị chắn bởi góc ở tâm $\hat{A O C}$ . Từ đó suy ra hai cung nhỏ $\overset{⌢}{A B}$ và $\overset{⌢}{A C}$ bằng nhau.

b) Từ giả thiết $s đ \overset{⌢}{B C} = 70^{o}$ , ta có:

Độ dài cung BC là $l_{B C} = \frac{s đ \overset{⌢}{B C}}{180} . π R = \frac{70}{180} π .4 = \frac{14}{9} π \approx 4, 9 (c m)$

Do A thuộc cung lớn BC nên $s đ \overset{⌢}{A B} + s đ \overset{⌢}{A C} = 2. s đ \overset{⌢}{A B} = s đ \overset{⌢}{B C}$ _lớn $= 360^{o} - 70^{o} = 290^{o}$

Từ đó ta có $s đ \overset{⌢}{A B} = s đ \overset{⌢}{A C} = 145^{o}$ . Vậy độ dài mỗi cung nhỏ $\overset{⌢}{A B}$ và $\overset{⌢}{A C}$ là:

$l = \frac{145}{180} π .4 = \frac{29}{9} π \approx 10, 1 (c m)$