Giải bài 1 trang 110, 111 vở thực hành Toán 9 tập 2

Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I; b) ME, MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

Đề bài

Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I;

b) ME, MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh $I E = I F = I H = I A$ , suy ra tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn (I, IA).

b) + Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn (M, MB). Nên $\hat{A E F} = 180^{o} - \hat{F E C} = \hat{F B C} = \hat{A B C}$ .

+ Chứng minh $\hat{I F A} = \hat{I A F} = \hat{H A B} = 90^{o} - \hat{A B C}$ , $\hat{M F C} = \hat{F C M}$ ,

suy ra $\hat{M F I} = \hat{M F C} + \hat{C F I}$

$= \hat{M F C} + (90^{o} - \hat{I F A}) = (90^{o} - \hat{A B C}) + \hat{A B C} = 90^{o}$

+ Do đó, $M F ⊥ I F$ nên MF tiếp xúc với (I, IA).

+ Chứng minh tương tự ta có: ME tiếp xúc với (I, IA).

Lời giải chi tiết

a) Do hai tam giác AEH và AFH vuông tại E và F nên $I E = I F = I H = I A$ . Vì vậy tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn (I, IA).

b) Tương tự như trên, tứ giác BCEF có $\hat{B F C} = \hat{B E C} = 90^{o}$ nên tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn (M, MB).

Suy ra $\hat{A E F} = 180^{o} - \hat{F E C} = \hat{F B C} = \hat{A B C}$ .

Vì $Δ I F A$ cân tại I nên $\hat{I F A} = \hat{I A F} = \hat{H A B} = 90^{o} - \hat{A B C}$ . (1)

Mặt khác, ta có $M F = M C$ , hay $Δ M F C$ cân tại M. Suy ra $\hat{M F C} = \hat{F C M}$ (2)

Vì vậy ta có:

$\hat{M F I} = \hat{M F C} + \hat{C F I} = \hat{M F C} + (90^{o} - \hat{I F A}) = (90^{o} - \hat{A B C}) + \hat{A B C}$

$= 90^{o}$ (theo (1) và (2)).

Do đó, $M F ⊥ I F$ . Suy ra MF tiếp xúc với (I, IA). Tương tự ME tiếp xúc với (I, IA).