Giải bài 1 trang 118

Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của các mẫu số liệu sau:

LG a

a) $23; 41; 71; 29; 48; 45; 72; 41$ .

Phương pháp giải:

Cho mẫu số liệu: $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ .

+) Số trung bình: $\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n}$ .

+) Tứ phân vị: $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$ .

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_{1}, X_{2}, . . ., X_{n}$ .

Bước 2: $Q_{2} = M_{e} = {\begin{cases} X_{k + 1} (n = 2 k + 1) \\ \frac{1}{2} (X_{k} + X_{k + 1}) (n = 2 k) \end{cases}$

$Q_{1}$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_{2}$ (không bao gồm $Q_{2}$ nếu n lẻ).

$Q_{3}$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_{2}$ (không bao gồm $Q_{2}$ nếu n lẻ).

+) Mốt $M_{o}$ là giá trị có tần số lớn nhất. (Một mẫu có thể có nhiều mốt).

Lời giải chi tiết:

$23; 41; 71; 29; 48; 45; 72; 41$ .

+) Số trung bình: $\bar{x} = \frac{23 + 41 + 71 + 29 + 48 + 45 + 72 + 41}{8} = 46, 25$ .

+) Tứ phân vị: $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$ .

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $23; 29; 41; 41; 45; 48; 71; 72$ .

Bước 2: $n = 8$ , là số chẵn nên $Q_{2} = M_{e} = \frac{1}{2} (41 + 45) = 43$ .

$Q_{1}$ là trung vị của nửa số liệu $23; 29; 41; 41$ . Do đó $Q_{2} = \frac{1}{2} (29 + 41) = 35$ .

$Q_{3}$ là trung vị của nửa số liệu $45; 48; 71; 72$ . Do đó $Q_{3} = \frac{1}{2} (48 + 71) = 59, 5$ .

+) Chỉ có giá trị 41 xuất hiện 2 lần, nhiều hơn các giá trị còn lại.

Do đó mốt $M_{o} = 41$ .

LG b

b) $12; 32; 93; 78; 24; 12; 54; 66; 78$ .

Phương pháp giải:

Cho mẫu số liệu: $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ .

+) Số trung bình: $\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n}$ .

+) Tứ phân vị: $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$ .

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_{1}, X_{2}, . . ., X_{n}$ .

Bước 2: $Q_{2} = M_{e} = {\begin{cases} X_{k + 1} (n = 2 k + 1) \\ \frac{1}{2} (X_{k} + X_{k + 1}) (n = 2 k) \end{cases}$

$Q_{1}$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_{2}$ (không bao gồm $Q_{2}$ nếu n lẻ).

$Q_{3}$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_{2}$ (không bao gồm $Q_{2}$ nếu n lẻ).

+) Mốt $M_{o}$ là giá trị có tần số lớn nhất. (Một mẫu có thể có nhiều mốt).

Lời giải chi tiết:

$12; 32; 93; 78; 24; 12; 54; 66; 78$ .

+) Số trung bình: $\bar{x} = \frac{12 + 32 + 93 + 78 + 24 + 12 + 54 + 66 + 78}{9} \approx 49, 89$ .

+) Tứ phân vị: $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$ .

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $12; 12; 24; 32; 54; 66; 78; 78; 93$ .

Bước 2: $n = 9$ , là số lẻ nên $Q_{2} = M_{e} = 54$ .

$Q_{1}$ là trung vị của nửa số liệu $12; 12; 24; 32$ . Do đó $Q_{1} = \frac{1}{2} (12 + 24) = 18$ .

$Q_{3}$ là trung vị của nửa số liệu $66; 78; 78; 93$ . Do đó $Q_{3} = \frac{1}{2} (78 + 78) = 78$ .

+) Giá trị 12 và giá trị 78 xuất hiện 2 lần, nhiều hơn các giá trị còn lại.

Do đó mốt $M_{o} = 12, M_{o} = 78$ .