Giải bài 1 trang 20

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a) Đồ thị của hàm số (y = 3xleft( {2 - x} right)), trục hoành và hai đường thẳng (x = - 1,x = 1). b) Đồ thị của hàm số (y = frac{{4 - x}}{x}), trục hoành và hai đường thẳng (x = 1,x = 2). c) Đồ thị của hàm số (y = {x^3} - {x^2}), trục hoành và hai đường thẳng (

Đề bài

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

a) Đồ thị của hàm số $y = 3 x (2 - x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = - 1, x = 1$ .

b) Đồ thị của hàm số $y = \frac{4 - x}{x}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 1, x = 2$ .

c) Đồ thị của hàm số $y = x^{3} - x^{2}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 0, x = 2$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = f (x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$ là: $S = \int_{a}^{b} | f (x) | d x$ .

Lời giải chi tiết

a) $S = \int_{- 1}^{1} | 3 x (2 - x) | d x = \int_{- 1}^{1} | 6 x - 3 x^{2} | d x$

$3 x (2 - x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$ (loại)

$\begin{array}{l} S = \int_{- 1}^{1} | 6 x - 3 x^{2} | d x = \int_{- 1}^{0} | 6 x - 3 x^{2} | d x + \int_{0}^{1} | 6 x - 3 x^{2} | d x = | \int_{- 1}^{0} (6 x - 3 x^{2}) d x | + | \int_{- 1}^{0} (6 x - 3 x^{2}) d x | \\ = | {(3 x^{2} - x^{3}) |}_{- 1}^{2} | + | {(3 x^{2} - x^{3}) |}_{0}^{1} | = 4 + 2 = 6 \end{array}$

b) Vì $\frac{4 - x}{x} > 0, \forall x \in [1; 2]$ nên ta có:

$S = \int_{1}^{2} | \frac{4 - x}{x} | d x = \int_{1}^{2} \frac{4 - x}{x} d x = \int_{1}^{2} (\frac{4}{x} - 1) d x = {(4 \ln x - x) |}_{1}^{2} = 4 \ln 2 - 1$ .

c) $S = \int_{0}^{2} | x^{3} - x^{2} | d x$

$x^{3} - x^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 1$

$\begin{array}{l} S = \int_{0}^{2} | x^{3} - x^{2} | d x = \int_{0}^{1} | x^{3} - x^{2} | d x + \int_{1}^{2} | x^{3} - x^{2} | d x = | \int_{0}^{1} (x^{3} - x^{2}) d x | + | \int_{1}^{2} (x^{3} - x^{2}) d x | \\ = | {(\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3}) |}_{0}^{1} | + | {(\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3}) |}_{1}^{2} | = \frac{1}{12} + \frac{17}{12} = \frac{3}{2} \end{array}$