Giải bài 1 trang 28

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm $A (- 4; 2), B (- 4; 5)$ và $C (- 1; 3) .$

a) Chứng minh các điểm $A^{'} (2; 4), B^{'} (5; 4)$ và $C^{'} (3; 1)$ theo thứ tự là ảnh của A, B, C qua phép quay tâm O với góc quay –90°.

b) Gọi $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ là ảnh của ∆ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện phép quay tâm O với góc quay –90° và phép đối xứng qua Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của $Δ A_{1} B_{1} C_{1} .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định và góc lượng giác $φ$ không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho $O M = O M^{'}$ và góc lượng giác $(O M, O M^{'}) = φ$ được gọi là phép quay tâm O với góc quay $φ$ , kí hiệu $Q_{(O, φ)}$ . O gọi là tâm quay, $φ$ gọi là góc quay.

Phép quay tâm O, góc -90⁰: Khi đó: ${\begin{cases} x^{'} = y \\ y^{'} = - x \end{cases}$

Lời giải chi tiết

Với ta có $\vec{O A} = (- 4; 2), \vec{O A^{'}} = (2; 4), \vec{A A^{'}} = (6; 2)$

Do đó $O A = O A^{'} = 2 \sqrt{5}$ và $A A^{'} = 2 \sqrt{10}$

Suy ra $\cos \hat{A O A^{'}} = \frac{O A^{2} + O A^{' 2} - A A^{' 2}}{2. O A . O A^{'}} = \frac{{(2 \sqrt{5})}^{2} + {(2 \sqrt{5})}^{2} - {(2 \sqrt{10})}^{2}}{2.2 \sqrt{5} .2 \sqrt{5}} = 0$

Do đó $\hat{A O A^{'}} = 90^{\circ}$

Mà khi quay đoạn OA (với tâm O) theo hướng cùng chiều kim đồng hồ một góc 90° thì ta được đoạn OA’. Tức là, phép quay có góc quay lượng giác theo chiều âm một góc 90°.

Vì vậy góc lượng giác $(O A, O A^{'}) = - 90^{\circ} .$

Vậy A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O với góc quay –90°.

Chứng minh tương tự, ta thu được B’, C’ theo thứ tự là ảnh của B, C qua phép quay tâm O với góc quay –90°.

b) Từ câu a, ta có phép quay tâm O, góc quay –90° biến ∆ABC thành ∆A’B’C’.

Ta có: $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ là ảnh của ∆A’B’C’ qua phép đối xứng trục Ox nên:

• $A_{1} = Đ_{O x} (A^{'}),$ do đó hai điểm A₁ và A’(2; 4) có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau, suy ra A₁(2; –4).

• $B_{1} = Đ_{O x} (B^{'}),$ do đó hai điểm B₁ và B’(5; 4) có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau, suy ra B₁(5; –4).

• $C_{1} = Đ_{O x} (C^{'}),$ do đó hai điểm C₁ và C’(3; 1) có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau, suy ra C₁(3; –1).

Vậy tọa độ các đỉnh của ∆A₁B₁C₁ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $A_{1} (2; - 4), B_{1} (5; - 4), C_{1} (3; - 1) .$