Giải bài 1 trang 32

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi $n\in N\ast$:

a) $1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

b) $1+4+9+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

c) $1+2+2^2+2^3+2^4+...+2^{n-1}=2^n-1$

Lời giải chi tiết

a) Ta chứng minh a) bằng phương pháp quy nạp

Với $n=1$ ta có $1.2=\frac{1.(1+1).(1+2)}{3}$

Vậy a) đúng với $n=1$

Giải sử a) đúng với $n=k$ nghĩa là có $1.2+2.3+3.4+...+k(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$

Ta chứng minh a) đúng với $n=k+1$ tức là chứng minh  $1.2+2.3+3.4+...+k(k+1)+(k+1)(k+2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$

Thật vậy, ta có

$\begin{array}{c}1.2+2.3+3.4+...+k(k+1)+(k+1)(k+2)\\ =\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)\\ =(k+1)(k+2)\left[\frac{k}{3}+1\right]\\ =\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}\end{array}$

Vậy a) đúng với mọi $n\in N\ast$.

b) Ta chứng minh b) bằng phương pháp quy nạp

Với $n=1$ ta có $1=\frac{1.(1+1)(2.1+1)}{6}$

Vậy b) đúng với $n=1$

Giải sử b) đúng với $n=k$ nghĩa là có $1+4+9+...+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

Ta chứng minh b) đúng với $n=k+1$ tức là chứng minh  $1+4+9+...+k^2+(k+1{)}^2=\frac{(k+1)(k+2)\left[2(k+1)+1\right]}{6}$

Thật vậy, ta có

$\begin{array}{c}1+4+9+...+k^2+(k+1{)}^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1{)}^2\\ =\frac{(k+1)}{6}\left[k(2k+1)+6(k+1)\right]=\frac{(k+1)}{6}.\left(2k^2+k+6k+6\right)\\ =\frac{(k+1)}{6}.\left(2k^2+7k+6\right)=\frac{(k+1)}{6}.(k+2).(2k+3)\\ =\frac{(k+1)(k+2)\left[2(k+1)+1\right]}{6}\end{array}$

Vậy b) đúng với mọi $n\in N\ast$.

c) Ta chứng minh c) bằng phương pháp quy nạp

Với $n=1$ ta có $1=2^1-1$

Vậy c) đúng với $n=1$

Giải sử c) đúng với $n=k$ nghĩa là có $1+2+2^2+2^3+2^4+...+2^{k-1}=2^k-1$

Ta chứng minh c) đúng với $n=k+1$ tức là chứng minh  $1+2+2^2+2^3+2^4+...+2^{k-1}+2^k=2^{k+1}-1$

Thật vậy, ta có

$\begin{array}{c}1+2+2^2+2^3+2^4+...+2^{k-1}+2^k\\ =2^k-1+2^k={2.2}^k-1=2^{k+1}-1\end{array}$

Vậy c) đúng với mọi $n\in N\ast$.