Giải bài 1 trang 40

Đề bài

Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi $n\in N\ast$.

a) $1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n^2{(n+1)}^2}{4}$

b) $1.4+2.7+3.10+...+n(3n+1)=n(n+1{)}^2$

c) $\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n}{2n+1}$

Lời giải chi tiết

a) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với $n=1$ ta có $1^3=\frac{1^2{(1+1)}^2}{4}$

Như vậy đẳng thức đúng cho trường hợp $n=1$

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $n=k$, nghĩa là có:

$1^3+2^3+3^3+...+k^3=\frac{k^2{(k+1)}^2}{4}$

Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với $n=k+1$, nghĩa là cần chứng minh

$1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1{)}^3=\frac{{(k+1)}^2{(k+2)}^2}{4}$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có

$\begin{array}{c}{1}^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1{)}^3=\frac{k^2{(k+1)}^2}{4}+(k+1{)}^3\\ =(k+1{)}^2\left(\frac{k^2}{4}+k+1\right)=\frac{{(k+1)}^2(k^2+4k+4)}{4}\\ =\frac{{(k+1)}^2{(k+2)}^2}{4}\end{array}$

Vậy đẳng thức đúng với $n=k+1$.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi $n\in N\ast$.

b) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với $n=1$ ta có $1.4=1.(1+1{)}^2$

Như vậy đẳng thức đúng cho trường hợp $n=1$

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $n=k$, nghĩa là có:

$1.4+2.7+3.10+...+k(3k+1)=k(k+1{)}^2$

Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với $n=k+1$, nghĩa là cần chứng minh

$1.4+2.7+3.10+...+k(3k+1)+(k+1)\left(3\right(k+1)+1)=(k+1)(k+2{)}^2$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có

$\begin{array}{c}1.4+2.7+3.10+...+k(3k+1)+(k+1)\left(3\right(k+1)+1)\\ =k(k+1{)}^2+(k+1)(3k+4)=(k+1)\left[k(k+1)+3k+4\right]\\ =(k+1)(k^2+4k+4)=(k+1)(k+2{)}^2\end{array}$

Vậy đẳng thức đúng với $n=k+1$.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi $n\in N\ast$.

c) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với $n=1$ ta có $S_1=\frac{1}{3}$

Vậy đẳng thức đúng với $n=1$

Giải sử đẳng thức đúng với $n=k$ tức là ta có $S_k=\frac{k}{2k+1}$

Ta chứng minh đẳng thức đúng với $n=k+1$ tức là chứng minh  $S_{k+1}=\frac{k+1}{2(k+1)+1}$

Thật vậy, ta có

$\begin{array}{c}{S}_{k+1}=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}\\ =\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k(2k+3)+1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{2k^2+3k+1}{(2k+1)(2k+3)}\\ =\frac{(k+1)(2k+1)}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k+1}{2k+3}\end{array}$

Vậy đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên $n\ge 1$.