Giải bài 1 trang 48

Đề bài

Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài trục lớn bằng 6 và tiêu điểm là $F_{1} (- 2; 0)$

b) Tiêu cự bằng 12 và tâm sai bằng $\frac{3}{5}$

c) Tâm sai bằng $\frac{\sqrt{5}}{3}$ và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) bằng 20

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(0 < b < a)$

+ Độ dài trục lớn: $2 a$ , độ dài trục nhỏ: $2 b$

+ Tiêu điểm $F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0)$

+ Tiêu cự: $2 c = 2 \sqrt{a^{2} - b^{2}}$

+ Tâm sai của elip: $e = \frac{c}{a}$ với $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ .

+ Kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 2a và 2b

Lời giải chi tiết

a) Ta có: Độ dài trục lớn $2 a = 6 \Rightarrow a = 3$ và tiêu điểm là $F_{1} (- 2; 0)$ nên $c = 2 \Rightarrow b = \sqrt{a^{2} - c^{2}} = \sqrt{3^{2} - 2^{2}} = \sqrt{5}$

Vậy elip (E): $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$

b) Ta có: Tiêu cự $2 c = 12 \Rightarrow c = 6$

Tâm sai bằng $e = \frac{c}{a} = \frac{6}{a} = \frac{3}{5} \Rightarrow a = 10$

$\Rightarrow b = \sqrt{a^{2} - c^{2}} = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = 8$

Vậy elip (E): $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

c) Tâm sai bằng $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3} \Rightarrow \frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3} \Rightarrow \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}} = \frac{5}{9}$

$\Rightarrow 9 a^{2} - 9 b^{2} = 5 a^{2} \Rightarrow 4 a^{2} = 9 b^{2} \Rightarrow 2 a = 3 b$

Với chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) bằng 20 nên $2 (2 a + 2 b) = 20 \Rightarrow a + b = 5$

$\Rightarrow {\begin{cases} 2 a = 3 b \\ a + b = 5 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} a = 3 \\ b = 2 \end{cases}$

Vậy elip (E): $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$