Giải bài 1 trang 55

Đề bài

Cho hypebol (H) $\frac{x^{2}}{144} - \frac{y^{2}}{25} = 1$

a) Tìm tâm sai và bán kính qua tiêu của điểm $M (13; \frac{25}{12})$ trên (H).

b) Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng.

c) Tìm điểm $N (x; y) \in (H)$ sao cho $N F_{1} = 2 N F_{2}$ với $F_{1}, F_{2}$ là hai tiêu điểm của (H).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho hypebol $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

a) + Tâm sai của hypebol: $e = \frac{c}{a}$

+ Bán kính qua tiêu của M (x; y): $M F_{1} = | a + e x |, M F_{2} = | a - e x | .$

b) + Ứng với tiêu điểm $F_{1} (- c; 0)$ , có đường chuẩn $Δ_{1} : x + \frac{a}{e} = 0$

+ Ứng với tiêu điểm $F_{2} (c; 0)$ , có đường chuẩn $Δ_{2} : x - \frac{a}{e} = 0$

Lời giải chi tiết

a) Ta có $a = 12, b = 5 \Rightarrow c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 13; e = \frac{c}{a} = \frac{13}{12}$

Bán kính qua tiêu của $M (13; \frac{25}{12})$ là $M F_{1} = | a + e x | = | 12 + \frac{13}{12} .13 | = \frac{313}{12}, M F_{2} = | a - e x | = | 12 - \frac{13}{12} .13 | = \frac{25}{12} .$

b) Ứng với tiêu điểm $F_{1} (- 13; 0)$ , có đường chuẩn $Δ_{1} : x + \frac{144}{13} = 0$

Ứng với tiêu điểm $F_{2} (13; 0)$ , có đường chuẩn $Δ_{2} : x - \frac{144}{13} = 0$

c) Để $N F_{1} = 2 N F_{2} \Leftrightarrow | a + e x_{N} | = 2 | a - e x_{N} |$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a + e x_{N} = 2 (a - e x_{N}) \Leftrightarrow x_{N} = \frac{a}{3 e} = \frac{48}{13} < a (L) \\ a + e x_{N} = - 2 (a - e x_{N}) \Leftrightarrow x_{N} = \frac{3 a}{e} = \frac{432}{13} \end{array} \\ \Rightarrow y_{N} = \pm \frac{35 \sqrt{23}}{13} \end{array}$

Vậy $N (\frac{432}{13}; \frac{35 \sqrt{23}}{13})$ hoặc $N (\frac{432}{13}; - \frac{35 \sqrt{23}}{13})$