Giải bài 1 trang 56

Đề bài

Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết:

a) Tiêu điểm là $F_{1} (- 3; 0)$ và đỉnh là $A_{2} (2; 0)$

b) Đỉnh là $A_{2} (4; 0)$ và tiêu cự bằng 10

c) TIêu điểm $F_{2} (4; 0)$ và phương trình một đường tiệm cận là $y = - \frac{\sqrt{7}}{3} x$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phương trình của hypebol $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ trong đó $a > 0, b > 0$ . Khi đó ta có:

+ Tiêu điểm $F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0)$

+ Các đỉnh là $A_{1} (- a; 0), A_{2} (a; 0)$

+ Tiêu cự: $2 c = 2 \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

+ Hai đường tiệm cận của hypebol (H) lần lượt có phương trình $y = - \frac{b}{a} x, y = \frac{b}{a} x$

Lời giải chi tiết

a) Tiêu điểm là $F_{1} (- 3; 0)$ và đỉnh là $A_{2} (2; 0)$

+ Hypebol có tiêu điểm là $F_{1} (- 3; 0) \Rightarrow c = 3$

+ Hypebol có đỉnh là $A_{2} (2; 0) \Rightarrow a = 2$

Khi đó $b^{2} = c^{2} - a^{2} = 3^{2} - 2^{2} = 5$

Khi đó phương trình chính tắc của hypebol là: $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$

b) Đỉnh là $A_{2} (4; 0)$ và tiêu cự bằng 10

+ Hypebol có đỉnh là $A_{2} (4; 0) \Rightarrow a = 4$

+ Hypebol có tiêu cự bằng 10 $\Rightarrow 2 c = 10 \Rightarrow c = 5$

Khi đó $b^{2} = c^{2} - a^{2} = 5^{2} - 4^{2} = 9$

Khi đó phương trình chính tắc của hypebol là: $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

c) TIêu điểm $F_{2} (4; 0)$ và phương trình một đường tiệm cận là $y = - \frac{\sqrt{7}}{3} x$

+ Hypebol có tiêu điểm là $F_{2} (4; 0) \Rightarrow c = 4$

+ Hypebol có đường tiệm cận là $y = - \frac{\sqrt{7}}{3} x \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{\sqrt{7}}{3} \Rightarrow \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{7}{9} \Rightarrow b^{2} = \frac{7}{9} a^{2}$

Với $c = 4 \Rightarrow c^{2} = a^{2} + b^{2} = 16 \Rightarrow \frac{7}{9} b^{2} + b^{2} = 16 \Rightarrow \frac{16}{9} b^{2} = 16 \Rightarrow b^{2} = 9 \Rightarrow a^{2} = 7$

Khi đó phương trình chính tắc của hypebol là: $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{7} = 1$