Giải bài 1 trang 57

Đề bài

Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm $A(-1;5)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(2;1)$.

b) d đi qua điểm $B(4;-2)$ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(3;-2)$.

c) d đi qua $P(1;1)$ và có hệ số góc $k=-2$.

d) d đi qua hai điểm $Q(3;0)$ và $R(0;2)$.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng d đi qua điểm $A(-1;5)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)$, nên có phương trình tham số là:

$\{\begin{array}{c}x=-1+2t\\ y=5+t\end{array}$

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)$,nên có vectơ pháp tuyền là $\overrightarrow{n}=\left(1;-2\right)$ và đi qua $A(-1;5)$

Ta có phương trình tổng quát là:

$(x+1)-2(y-5)=0$

$\iff x-2y+11=0$.

b) Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(3;-2\right)$ nên có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;3\right)$, và đi qua điểm $B(4;-2)$ nên ta có phương trình tham số là:

$\{\begin{array}{c}x=4+2t\\ y=-2+3t\end{array}$

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $B(4;-2)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(3;-2\right)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

$3(x-4)-2(y+2)=0$

$\iff 3x-2y-16=0$.

c) Đường thẳng d có dạng $y=ax+b$, đi qua $P(1;1)$ và có hệ số góc $k=-2$ nên ta có:

$1=-2.1+b\Rightarrow b=3$.

Suy ra đồ thị đường thẳng d có dạng $y=-2x+3$.

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là $y+2x-3=0$.

Suy ra đường thẳng d  có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;1\right)$, nên có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(1;-2\right)$ và đi qua điểm $P(1;1)$ nên ta có phương trình tham số của d là:

$\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=1-2t\end{array}$

d) Đường thẳng d đi qua hai điểm $Q(3;0)$ và $R(0;2)$ nên có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{QR}=(-3;2)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;3)$.

Phương trình tham số của d là: $\{\begin{array}{c}x=3-3t\\ y=2t\end{array}$

Phương trình tổng quát của d là:

$2(x-3)+3(x-0)=0$

$\iff 2x+3y-6=0$.