Giải Bài 1 trang 84

Cho tam giác ABC cân tại A

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A ( $\hat{A} < 90^{o}$ ). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rẳng $Δ B F C = Δ C E B$

b) Chứng minh rằng $Δ A E H = Δ A F H$

c) Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh rằng ba điểm A,H,I thẳng hàng.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Ta sử dụng định lí cạnh huyền – góc nhọn trong tam giác vuông

b) Từ câu a ta chứng minh 2 tam giác AHF = tam giác AHE nhờ những cạnh của 2 tam giác chứng minh được bằng nhau từ câu trên

c) Ta chứng minh AI và AH cùng là phân giác của góc A

Lời giải chi tiết

a) Xét $Δ B F C$ và $Δ C E B$ có:

BC là cạnh chung

$\hat{B} = \hat{C}$ ( $Δ A B C$ cân tại A)

$\hat{B E C} = \hat{C F B} = 90^{o}$

Suy ra: $Δ B F C = Δ C E B$ (cạnh huyền – góc nhọn )

b) Vì $Δ B F C = Δ C E B$ (cma) nên $B F = E C$ (2 cạnh tương ứng)

Mà AB = AC ( $Δ A B C$ cân tại A)

Do đó $A F = A E$ ( do $A B - B F = A C - E C$ )

Xét $Δ A E H$ và $Δ A F H$ ta có :

AF = AE (chứng minh trên)

AH cạnh chung

$\hat{H F A} = \hat{H E A} = 90^{o}$

Suy ra: $Δ A E H = Δ A F H$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

c) Vì CF, BE là những đường cao của tam giác ABC và H là giao điểm của chúng

nên H là trực tâm của tam giác ABC

Suy ra AH vuông góc với BC (1)

Xét $Δ A I C$ và $Δ A I B$ có :

IB = IC (I là trung điểm BC)

AI là cạnh chung

AB = AC ( tam giác ABC cân tại A)

Suy ra $Δ A I C = Δ A I B (c - c - c)$

Suy ra $\hat{A I C} = \hat{A I B}$ (2 góc tương ứng). Mà chúng ở vị trí kề bù nên $\hat{A I C} = \hat{A I B} = 90^{o}$ $\Rightarrow A I ⊥ B C$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: A, H, I thẳng hàng.