Giải bài 10 trang 106 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A và các điểm D, E, F như Hình 9.77 sao cho AD là phân giác của góc BAC, DE và DF lần lượt vuông góc với AC và BC . Chứng minh rằng:

a) $\frac{B D}{B C} = \frac{A B}{A B + A C}$ , từ đó suy ra $A E = \frac{A B . A C}{A B + A C}$ ;

b) ΔDFC ∽ ΔABC;

c) DF = DB

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng các tam giác đồng dạng để chứng minh.

Lời giải chi tiết

a) Kẻ đường thẳng qua D vuông góc và cắt AB tại K. Khi đó DK = AE.

Vì DE // AB, DK // AC nên $Δ B D K ∽ Δ B C A$ và $Δ C D E ∽ Δ C B A$ .

Suy ra $\frac{B D}{B C} = \frac{D K}{C A} = \frac{D E}{C A} = \frac{D E}{B A} . \frac{B A}{C A} = \frac{D C}{B C} . \frac{A B}{A C}$ .

Do vậy $B D = \frac{D C . A B}{A C}$ , hay $\frac{D C}{B D} = \frac{A B}{A C}$ (*)

Từ (*) suy ra $\frac{B C}{B D} = 1 + \frac{D C}{B D} = 1 + \frac{A C}{A B} = \frac{A B + A C}{A B}$ , do đó $\frac{B D}{B C} = \frac{A B}{A B + A C}$ .

Theo định lí Thalès, ta có: $\frac{A E}{A C} = \frac{B D}{B C} = \frac{A B}{A B + A C}$ . Suy ra AE = $\frac{A B . A C}{A B + A C}$ .

b) Hai tam giác vuông DFC (vuông tại D) và ABC (vuông tại A) có góc nhọn C chung nên $Δ D F C ∽ Δ A B C$ suy ra $\frac{D F}{A B} = \frac{D C}{A C} = \frac{D C}{D B} . \frac{D B}{A C} = \frac{A C}{A B} . \frac{D B}{A C} = \frac{D B}{A B}$ .

Do đó DF = DB.