Giải bài 10 trang 23

Đề bài

Một người muốn làm một thùng chứa hình trụ có nắp, có dung tích 500 dm³. Cần chọn bán kính đáy và chiều cao của thùng bằng bao nhiêu để tiết kiệm nguyên liệu nhất? Biết đáy và mặt xung quanh của thùng có độ dày như nhau và xác định trước.

Lời giải chi tiết

Thể tích của bể là: $V=\pi R^{2}h\left(d{m}^3\right)$.

Do bể có thể tích 500 dm³ nên ta có: $\pi R^{2}h=500\Rightarrow h=\frac{500}{\pi R^2}$.

Diện tích toàn phần của thùng là: $S=2\pi Rh+2\pi R^2=2\pi R.\frac{500}{\pi R^2}+2\pi R^2=\frac{1000}{R}+2\pi R^2$.

Xét hàm số $S\left(R\right)=\frac{1000}{R}+2\pi R^2$ trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$.

Ta có: $S^{\prime }\left(R\right)=-\frac{1000}{R^2}+4\pi R$

$S^{\prime }\left(R\right)=0\iff -\frac{1000}{R^2}+4\pi R=0\iff \frac{1000}{R^2}=4\pi R\iff R=\sqrt[3]{3\frac{250}{\pi }}$.

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{\left(0;+\infty \right)}{min}S\left(R\right)=S\left(\sqrt[3]{3\frac{250}{\pi }}\right)$.

Vậy để tiết kiệm nguyên liệu nhất, cần chọn bán kính $R=\sqrt[3]{3\frac{250}{\pi }}\approx 4,3\left(dm\right)$ và chiều cao$h=\frac{500}{\pi .{\left(\sqrt[3]{3\frac{250}{\pi }}\right)}^2}\approx 8,6\left(dm\right)$.