Giải bài 10 trang 30

Đề bài

Giả sử năm đầu tiên, cô Hạnh gửi vào ngân hàng A (đồng) với lãi suất r%/ năm. Hết năm đầu, cô Hạnh không rút tiền ra và gửi thêm A (đồng) nữa. Hết năm thứ hai, cô Hạnh cũng không rút tiền ra và lại gửi thêm A (đồng) nữa. Cứ tiếp tục như vậy cho những năm sau. Chứng minh số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau n (năm) là $T_n=\frac{A(100+r)}{r}\left[{\left(1+\frac{r}{100}\right)}^n-1\right]$ (đồng), nếu trong khoảng thời gian này lãi suất không đổi.

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh “Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau n (năm) là $T_n=\frac{A(100+r)}{r}\left[{\left(1+\frac{r}{100}\right)}^n-1\right]$ (đồng)” bằng phương pháp quy nạp.

Bước 1: Khi $n=1$ ta có

Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau 1 năm là: $A+r\%.A=A.\left(1+\frac{r}{100}\right)=\frac{A(100+r)}{100}$(đồng)

Và $T_1=\frac{A(100+r)}{r}\left[{\left(1+\frac{r}{100}\right)}^1-1\right]=\frac{A(100+r)}{r}.\frac{r}{100}=\frac{A(100+r)}{100}$(đồng)

Như vậy mệnh đề đúng với $n=1$

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:

“Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau $k+1$ năm là: $T_{k+1}=\frac{A(100+r)}{r}\left[{\left(1+\frac{r}{100}\right)}^{k+1}-1\right]$ (đồng)”

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau $k$ năm là: $T_k=\frac{A(100+r)}{r}\left[{\left(1+\frac{r}{100}\right)}^k-1\right]$ (đồng)

Cô không rút ra mà gửi thêm A đồng nữa

=> Số tiền gốc sau $k+1$ năm là: $T_k+A$(đồng)

=> Số tiền lãi sau $k+1$ năm là: $\left(T_k+A\right).r\%$(đồng)

Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau $k+1$ năm là:

$\begin{array}{c}{T}_k+A+\left(T_k+A\right).r\%=\left(T_k+A\right).(1+r\%)=\left(T_k+A\right)\left(1+\frac{r}{100}\right)\\ =\left\{\frac{A(100+r)}{r}\left[{\left(1+\frac{r}{100}\right)}^k-1\right]+A\right\}.\left(1+\frac{r}{100}\right)\\ =\frac{A(100+r)}{r}\left[{\left(1+\frac{r}{100}\right)}^k-1\right].\left(1+\frac{r}{100}\right)+A.\left(1+\frac{r}{100}\right)\\ =\frac{A(100+r)}{r}.\left[{\left(1+\frac{r}{100}\right)}^{k+1}-\left(1+\frac{r}{100}\right)\right]+A.\left(\frac{100+r}{100}\right)\\ =\frac{A(100+r)}{r}.\left[{\left(1+\frac{r}{100}\right)}^{k+1}-\left(1+\frac{r}{100}\right)\right]+A.\left(\frac{100+r}{r}\right).\frac{r}{100}\\ =\frac{A(100+r)}{r}.\left[{\left(1+\frac{r}{100}\right)}^{k+1}-\left(1+\frac{r}{100}\right)+\frac{r}{100}\right]\\ =\frac{A(100+r)}{r}.\left[{\left(1+\frac{r}{100}\right)}^{k+1}-1\right]\end{array}$

Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi .