Giải bài 10 trang 32

Đề bài

Cho hàm số $y=\frac{\left(m-1\right)x-2}{m-2-x}$ ($m$ là tham số). Tìm điều kiện của $m$ để đồ thị hàm số đã cho có một nhánh nằm hoàn toàn trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục toạ độ $Oxy$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y^{\prime }=\frac{\left(m-1\right)\left(m-2\right)-\left(-2\right).\left(-1\right)}{{\left(m-2-x\right)}^2}=\frac{m^2-3m}{{\left(m-2-x\right)}^2}$

Hàm số có đường thẳng $x=m-2$ là tiệm cận đứng và đường thẳng $y=1-m$ là tiệm cận ngang.

Để đồ thị hàm số đã cho có một nhánh nằm hoàn toàn trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục toạ độ $Oxy$ thì hàm số nghịch biến, có tiệm cận đứng không nằm bên trái trục $Oy$ và có tiệm cận ngang không nằm bên dưới trục $Ox$, tức là:

$\{\begin{array}{c}{m}^2-3m<0\\ c=-1\ne 0\\ 1-m\ge 0\\ m-2\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}0<m<3\\ m\le 1\\ m\ge 2\end{array}$

Do đó không có giáo trị nào của $m$ để đồ thị hàm số đã cho có một nhánh nằm hoàn toàn trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục toạ độ $Oxy$.