Giải bài 10 trang 33

Đề bài

Chứng minh rằng các đa giác đều có cùng số cạnh thì đồng dạng với nhau.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Phép biến hình F biến 2 điểm M, N bất kì thành 2 điểm M’, N’ sao cho $M^{'} N^{'} = k M N$ với k là số thực dương cho trước, gọi là phép đồng dạng tỉ số k.

- Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k $(k \neq 0)$ lần lượt biến 2 điểm A, B thành 2 điểm A’, B’ thì $A^{'} B^{'} = | k | A B$

Lời giải chi tiết

Giả sử cho hai n-giác đều và $B_{1} B_{2} \dots B_{n}$ có tâm lần lượt là O và O'. Đặt $k = \frac{B_{1} B_{2}}{A_{1} A_{2}} = \frac{O^{'} B_{1}}{O A_{1}}$ . Gọi V là phép vị tự tâm O, tỉ số k và $C_{1} C_{2} \dots C_{n}$ là ảnh của đa giác $A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ qua phép vị tự V. Hiển nhiên $C_{1} C_{2} \dots C_{n}$ cũng là đa giác đều và vì $\frac{C_{1} C_{2}}{A_{1} A_{2}} = k$ nên $C_{1} C_{2} = B_{1} B_{2}$ . Vậy hai n-giác đều $C_{1} C_{2} \dots C_{n}$ và $B_{1} B_{2} \dots B_{n}$ có cạnh bằng nhau, tức là có phép dời hình D biến $C_{1} C_{2} \dots C_{n}$ thành $B_{1} B_{2} \dots B_{n}$ . Nếu gọi F là phép hợp thành của V và D thì F là phép đồng đạng biến $A_{1} A_{2} \dots A_{n}$ thành $B_{1} B_{2} \dots B_{n}$ . Vậy hai đa giác đều đó đồng dạng với nhau.