Giải bài 10 trang 36

Đề bài

Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:

a) $A = x + 1 - \frac{x^{2} - 4}{x - 1}$ tại $x = - 4$

b) $B = \frac{1}{5 - x} - \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} - 25}$ tại $x = 99$

c) $C = \frac{1}{x - 1} - \frac{2 x}{x^{3} - x^{2} + x - 1}$ tại $x = 0, 7$

d) $D = \frac{1}{x (x + 1)} + \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{1}{x + 2}$ tại $\frac{1}{23}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Muốn rút gọn hai phân thức, ta có thể làm như sau:

Bước 1: phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần)

Bước 2: tìm nhân tử chung của 2 phân thức rồi quy đồng.

Bước 3: thực hiện rút gọn sau đó tính giá trị của phân thức đã rút gọn

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x \neq 1$ .

Ta có:

$\begin{array}{l} A = x + 1 - \frac{x^{2} - 4}{x - 1} = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - \frac{x^{2} - 4}{x - 1} \\ = \frac{x^{2} - 1 - (x^{2} - 4)}{x - 1} = \frac{x^{2} - 1 - x^{2} + 4}{x - 1} = \frac{3}{x - 1} \end{array}$

Vậy giá trị của biểu thức $A$ tại $x = - 4$ là: $\frac{3}{- 4 - 1} = \frac{- 3}{5}$

b) Điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x \neq \pm 5$

Ta có:

$\begin{array}{l} B = \frac{1}{5 - x} - \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} - 25} = \frac{- 1}{x - 5} - \frac{x (x + 5)}{(x + 5) (x - 5)} \\ = \frac{- 1}{x - 5} - \frac{x}{x - 5} \\ = \frac{- 1 - x}{x - 5} \end{array}$

Vậy giá trị của biểu thức $B$ tại $x = 99$ là: $\frac{- 1 - 99}{99 - 5} = \frac{- 50}{47}$

c) Ta có:

$x^{3} - x^{2} + x - 1 = (x^{3} - x^{2}) + (x - 1) = x^{2} (x - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x^{2} + 1)$

Điều kiện xác định của biểu thức $C$ là: $x \neq 1$

Suy ra

$\begin{array}{l} C = \frac{1}{x - 1} - \frac{2 x}{x^{3} - x^{2} + x - 1} = \frac{1}{x - 1} - \frac{2 x}{(x - 1) (x^{2} + 1)} \\ = \frac{x^{2} + 1}{(x - 1) (x^{2} + 1)} - \frac{2 x}{(x - 1) (x^{2} + 1)} \\ = \frac{x^{2} + 1 - 2 x}{(x - 1) (x^{2} + 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{(x - 1) (x^{2} + 1)} \\ = \frac{x - 1}{x^{2} + 1} \end{array}$

Vậy giá trị của biểu thức $C$ tại $x = 0, 7$ là:

$\frac{0, 7 - 1}{0, 7^{2} + 1} = \frac{- 30}{149}$

d) Ta sử dụng:

$\frac{1}{a (a + 1)} = \frac{(a + 1) - a}{a (a + 1)} = \frac{a + 1}{a (a + 1)} - \frac{a}{a (a + 1)} = \frac{1}{a} - \frac{1}{a + 1}$

Điều kiện xác định của biểu thức $D$ là: $x \neq 0; x \neq - 1; x \neq - 2$

Ta có:

$\begin{array}{l} D = \frac{1}{x (x + 1)} + \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{1}{x + 2} \\ = (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}) + (\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}) + \frac{1}{x + 2} \\ = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{x} \end{array}$

Vậy giá trị của biểu thức $D$ tại $x = \frac{1}{23}$ là: $\frac{1}{\frac{1}{23}} = 23$