Giải bài 10 trang 37

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh diện tích của tứ giác ABCD không lớn hơn (frac{{AB.BC + AD.DC}}{2}.)

Đề bài

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh diện tích của tứ giác ABCD không lớn hơn $\frac{A B . B C + A D . D C}{2} .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Kẻ đường cao CH và AK.

Tính diện tích tam giác ABC và ACD.

Do đó $S_{A B C D} = S_{A B C} + S_{A C D} = \frac{A B . C H + D C . A K}{2}$

Kết hợp với điều kiện $C H \leq B C, A K \leq A D$ , ta được điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết

Kẻ $C H ⊥ A B, A K ⊥ D C (H \in A B, K \in D C)$ .

Ta có $S_{A B C} = \frac{A B . C H}{2}, S_{A C D} = \frac{D C . A K}{2}$

Do đó

$S_{A B C D} = S_{A B C} + S_{A C D} = \frac{A B . C H}{2} + \frac{D C . A K}{2} = \frac{A B . C H + D C . A K}{2}$

Mà $C H \leq B C, A K \leq A D$ suy ra $S_{A B C D} \leq \frac{A B . B C + A D . D C}{2}$

Vậy diện tích của tứ giác ABCD không lớn hơn $\frac{A B . B C + A D . D C}{2} .$