Giải bài 10 trang 41

Đề bài

Cho đường tròn (O; R) và điểm I cố định khác O. Vẽ điểm M tùy ý trên (O). Tia phân giác của góc MOI cắt IM tại N. Điểm N di động trên đường nào khi M di động trên (O)?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Vẽ hình, dựa vào phép vị tự, suy luận để chứng minh

Lời giải chi tiết

Đặt $I O = d (d \neq 0) .$

∆MOI có ON là đường phân giác, áp dụng tính chất đường phân giác, ta được: $\frac{N M}{N I} = \frac{O M}{O I} = \frac{R}{d}$

Suy ra $\frac{N M}{N I} + 1 = \frac{R}{d} + 1$

Khi đó $\frac{N M + N I}{N I} = \frac{R + d}{d}$

Vì vậy $\frac{I M}{N I} = \frac{R + d}{d}$

Suy ra $\frac{I N}{I M} = \frac{d}{R + d}$

Do đó $I N = \frac{d}{R + d} . I M$

Vì vậy $\vec{I N} = \frac{d}{R + d} . \vec{I M}$ (do $\vec{I N}, \vec{I M}$ cùng hướng).

Khi đó phép vị tự tâm I, tỉ số $k = \frac{d}{R + d}$ biến điểm M thành điểm N.

Giả sử khi M ở vị trí sao cho ba điểm O, M, I thẳng hàng (tức là, $\hat{I O M} = 0^{\circ}$ )thì tia phân giác của góc MOI không thể cắt IM tại N.

Tức là, điểm N không tồn tại.

Ta đặt $M_{0}^{'} = V_{(I, \frac{d}{R + d})} (M_{0})$ , với M₀ là điểm nằm trên đường tròn (O; R) sao cho ba điểm $O, M_{0}, I$ thẳng hàng.

Vậy khi M chạy trên đường tròn (O; R) sao cho ba điểm O, M, I không thẳng hàng thì N chạy trên một đường tròn $(O^{'}; R^{'})$ cố định là ảnh của đường tròn (O; R) qua phép vị tự tâm I, tỉ số $k = \frac{d}{R + d}$ sao cho $N \neq M_{0},$ với M₀ là điểm nằm trên đường tròn (O; R) sao cho ba điểm $O, M_{0}, I$ thẳng hàng