Giải bài 10 trang 45

Đề bài

Cho bốn điểm $A\left(7;-3\right),B\left(8;4\right),C\left(1;5\right),D\left(0;-2\right)$. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông

Lời giải chi tiết

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(1;7),\overrightarrow{AD}=(-7;1),\overrightarrow{CD}=(-1;-7)$,$\overrightarrow{BC}=(-7;1)$

Suy ra $AB=\overrightarrow{AB}=\sqrt{1^2+7^2}=5\sqrt{2},AD=\overrightarrow{AD}=\sqrt{{\left(-7\right)}^2+1^2}=5\sqrt{2},$

          $CD=\overrightarrow{CD}=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-7\right)}^2}=5\sqrt{2}$,$BC=\overrightarrow{BC}=\sqrt{{\left(-7\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}=5\sqrt{2}$

$\Rightarrow AB=BC=CD=DA=5\sqrt{2}$ (1)

Mặt khác ta có

$\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}}{AB.AD}=\frac{1.(-7)+7.1}{5\sqrt{2}.5\sqrt{2}}=0\Rightarrow \hat{A}={90}^{\circ }$ (2)

Từ (1) và(2) suy ra ABCD là hình vuông (đpcm)