Giải bài 10 trang 47

Đề bài

Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(P)$ đi qua điểm $I (2; 1; - 4)$ và có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (3; - 4; 5)$ ;

b) $(P)$ đi qua điểm $I (5; - 2; 1)$ và có cặp vectơ chỉ phương là $\vec{a} = (3; - 1; 4), \vec{b} = (0; 2; - 1)$ ;

c) $(P)$ đi qua ba điểm $A (0; 3; 7), B (2; - 5; 4)$ và $C (1; - 4; - 1)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến: Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $I (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và nhận $\vec{n} = (A; B; C)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: $A x + B y + C z + D = 0$ với $D = - A x_{0} - B y_{0} - C z_{0}$ .

‒ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương $\vec{u}, \vec{v}$ :

Bước 1: Tìm $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$ .

Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $I (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và nhận $\vec{n}$ làm vectơ pháp tuyến.

‒ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng $H, I, K$ :

Bước 1: Tìm cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng là $\vec{H I}$ và $\vec{H K}$ .

Bước 2: Tìm $\vec{n} = [\vec{H I}, \vec{H K}]$ .

Bước 3: Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $H$ và nhận $\vec{n}$ làm vectơ pháp tuyến.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:

$3 (x - 2) - 4 (y - 1) + 5 (z + 4) = 0 \Leftrightarrow 3 x - 4 y + 5 z + 18 = 0$ .

b) Ta có: $[\vec{a}, \vec{b}] = (- 7; 3; 6)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ .

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:

$- 7 (x - 5) + 3 (y + 2) + 6 (z - 1) = 0 \Leftrightarrow - 7 x + 3 y + 6 z + 35 = 0$ .

c) Ta có: $\vec{A B} = (2; - 8; - 3), \vec{A C} = (1; - 7; - 8)$ .

Khi đó, $[\vec{A B}, \vec{A C}] = (43; 13; - 6)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ .

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:

$43 (x - 0) + 13 (y - 3) - 6 (z - 7) = 0 \Leftrightarrow 43 x + 13 y - 6 z + 3 = 0$ .