Giải bài 10 trang 89

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB<AC$). Gọi $M$, $N$, $E$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$, $BC$

a) Chứng minh rằng tứ giác $ANEB$ là hình thang vuông

b) Chứng minh rằng tứ giác $ANEM$ là hình chữ nhật

c) Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $BN$ cắt $EN$ tại $F$. Chứng minh rằng tứ giác $AFCE$ là hình thoi

d) Gọi $D$ là điểm đối cứng của $E$ qua $M$. Chứng minh rằng $A$ là trung điểm của $DF$

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác ABC vuông tại A có E là trung điểm của BC nên AE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác ABC nên AE = BE = EC = $\frac{1}{2}$ BC.

Vì AE = EC nên E thuộc đường trung trực của AC. Vì N là trung điểm của AC nên N thuộc đường trung trực của AC.

=> EN là đường trung trực của AC hay $EN\perp AC$

Ta có $AB\perp AC,EN\perp AC\Rightarrow AB//EN$ nên ANEB là hình thang.

Vì $\widehat{BAN}={90}^0$ nên ANEB là hình thang vuông.

b) $M$, $E$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$ (gt);

Suy ra $ME$ là đường trung bình của $\Delta ABC$

Suy ra $ME$ // $AC$ hay $ME$ // $AN$

Mà  $AM$ // $NE$ (do $AB$ // $NE$)

Suy ra tứ giác $AMEN$ là hình bình hành

Mà $\widehat{MAN}={90}^{\circ }$ nên $AMEN$ là hình chữ nhật

c) Xét tứ giác $BMFN$ có: $MF$ // $BN$ (gt) và $BM$ // $FN$ (do $AB$ // $NE$)

Suy ra $BMFN$ là hình bình hành

Suy ra $BM=FN$

Mặt khác $NE=AM$ (Tứ giác $ANEM$ là hình chữ nhật) và $AM=BM$

Suy ra $FN=NE$

Tứ giác $AFCE$ có $N$ là trung điểm của $AC$ và $EF$

Suy ra $AFCE$ là hình bình hành

Mà $AC\perp EF$

Do đó $AFCE$ là hình thoi

d) Xét tứ giác $ADBE$ ta có: $DE$ và $AB$ cắt nhau tại $M$ (gt)

Mà $M$ là trung điểm của $AB$ (gt)

$M$ là trung điểm của $DE$ (do $D$ đối xứng với $E$ qua $M$)

Suy ra $ADBE$ là hình bình hành

Suy ra $AD$ // $BE$ hay $AD$ // $EC$

Mà $AF$ // $EC$  (do $AECF$ là hình thoi)

Suy ra $A,D,F$ thẳng hàng (1)

Mà $ADBE$ là hình bình hành

Suy ra $BE$ // $AD$

Mà $AF=EC$ (do $AFCE$ là hình thoi); $EB=EC$ (gt)

Suy ra $AD=AF$(2)

Từ (1) và (2) suy ra $A$ là trung điểm của $DF$