Giải bài 11 trang 104

Đề bài

Cho tam giác $A F_{1} F_{2}$ , trong đó $A (0; 4)$ , $F_{1} (- 3; 0)$ , $F_{2} (3; 0)$ .

a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng $A F_{1}$ và $A F_{2}$ .

b) Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A F_{1} F_{2}$ .

c) Lập phương trình chính tắc của elip (E) có hai tiêu điểm là $F_{1}, F_{2}$ sao cho (E) đi qua A.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng $A F_{1}$ là:

$\frac{x}{- 3} + \frac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow 4 x - 3 y + 12 = 0$ .

Phương trình tổng quát của đường thẳng $A F_{2}$ là:

$\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow 4 x + 3 y - 12 = 0$ .

b) Giả sử tâm đường tròn là điểm $I (a; b)$ . Ta có:

$I A = I F_{1} = I F_{2} \Leftrightarrow I A^{2} = I {F_{1}}^{2} = I {F_{2}}^{2}$

Vì $I A^{2} = I {F_{1}}^{2}$ , $I {F_{1}}^{2} = I {F_{2}}^{2}$ nên:

${\begin{cases} a^{2} + {(4 - b)}^{2} = {(- 3 - a)}^{2} + b^{2} \\ {(- 3 - a)}^{2} + b^{2} = {(3 - a)}^{2} + b^{2} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = 0 \\ b = \frac{7}{8} \end{cases}$

=> $I (0; \frac{7}{8})$ và $R = I A = \sqrt{0^{2} + {(\frac{25}{8})}^{2}} = \frac{25}{8}$ .

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $A F_{1} F_{2}$ là:

$x^{2} + {(y - \frac{7}{8})}^{2} = {(\frac{25}{8})}^{2}$ .

c) Gọi phương trình chính tắc của elip là:

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ .

Do elip có 2 tiêu điểm $F_{1}, F_{2}$ nên:

$\sqrt{a^{2} - b^{2}} = c = 3 \Leftrightarrow a^{2} - b^{2} = 9$ .

Mặt khác điểm A thuộc elip nên $\frac{16}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow b = 4$ (do $b > 0$ ). Vậy $a = 5$ .

Vậy phương trình chính tắc của elip là: $\frac{x^{2}}{5^{2}} + \frac{y^{2}}{4^{2}} = 1$ .