Giải bài 11 trang 15

Đề bài

Cho hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}{x}^2,x\le 1\\ \frac{1}{x},x>1\end{array}$.

a) Chứng tỏ rằng hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên $R$.

b) Tính $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}{x}^2,x\le 1\\ \frac{1}{x},x>1\end{array}$.

Hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên các khoảng $\left(-\infty ;1\right)$ và $\left(1;+\infty \right)$.

Ta có: $\underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{lim}{x}^2=1;\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{1}{x}=1;f\left(1\right)=1$

Vì $\underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=1$ nên hàm số $f\left(x\right)$ liên tục tại $x=1$.

Vậy hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên $R$.

b) $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{x}dx={\frac{x^3}{3}|}_{-1}^1+{\ln x|}_1^2=\frac{2}{3}+\ln 2$.