Giải bài 11 trang 9

Tìm: a) (int {{2^x}ln 2dx} ); b) (int {2xcos left( {{x^2}} right)dx} ); c) (int {{{cos }^2}left( {frac{x}{2}} right)dx} ).

Đề bài

Tìm:

a) $\int 2^{x} \ln 2 d x$ ;

b) $\int 2 x \cos (x^{2}) d x$ ;

c) $\int \cos^{2} (\frac{x}{2}) d x$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng tính chất của nguyên hàm: Cho hàm số $y = f (x), y = g (x)$ liên tục trên $K$ .

• $\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$ với $k$ là hằng số khác 0.

• $\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$ .

• $\int [f (x) - g (x)] d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x$ .

‒ Sử dụng công thức $\int F^{'} (x) d x = F (x) + C$ với $F (x)$ là hàm số có đạo hàm liên tục.

Lời giải chi tiết

a) $\int 2^{x} \ln 2 d x = \int {(2^{x})}^{'} d x = 2^{x} + C$ .

b) $\int 2 x \cos (x^{2}) d x = \int {[\sin (x^{2})]}^{'} d x = \sin (x^{2}) + C$ .

c) $\int \cos^{2} (\frac{x}{2}) d x = \int \frac{1 + \cos x}{2} d x$

$= \int \frac{1}{2} d x + \frac{1}{2} \int \cos x d x$

$= \frac{1}{2} \int 1 d x + \frac{1}{2} \int \cos x d x$

$= \frac{1}{2} \int {(x)}^{'} d x + \frac{1}{2} \int {(\sin x)}^{'} d x$

$= \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \sin x + C$

$= \frac{x + \sin x}{2} + C$ .