Giải bài 12 trang 12

Cho điểm AAA di động trên nửa đường tròn tâm OOO đường kính MN=20cm,ˆMOA=αMN=20cm,MOA^=αMN = 20{\rm{ }}cm,\widehat {MOA} = \alpha với 0≤α≤π0≤α≤π0 \le \alpha \le \pi . Lấy điểm BBB thuộc nửa đường tròn và C,DC,DC,D thuộc đường kính MNMNMN được xác định sao cho ABCDABCDABCD là hình chữ nhật. Khi AAA d

Đề bài

Cho điểm $A$ di động trên nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $M N = 20 c m, \hat{M O A} = α$ với $0 \leq α \leq π$ . Lấy điểm $B$ thuộc nửa đường tròn và $C, D$ thuộc đường kính $M N$ được xác định sao cho $A B C D$ là hình chữ nhật. Khi $A$ di động từ trái sang phải, trong các khoảng nào của $α$ thì diện tích của hình chữ nhật $A B C D$ tăng, trong các khoảng nào của $α$ thì diện tích của hình chữ nhật $A B C D$ giảm?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Lập hàm số $y = f (α)$ trên đoạn $[0; π]$ , lập bảng biến thiên và tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải chi tiết

Ta có: $A D = O A \sin α = 10 \sin α; O D = O A \cos α = 10 \cos α; C D = 2 O D = 20 \cos α$ .

Diện tích hình chữ nhật là: $A D . C D = 10 \sin α .20 \cos α = 200 \sin α \cos α = 100 \sin 2 α$ .

Xét hàm số $f (α) = 100 \sin 2 α$ trên đoạn $[0; π]$ .

Ta có:

$f^{'} (α) = 200 \cos 2 α; f^{'} (α) = 0 \Leftrightarrow α = \frac{π}{4}$ hoặc $α = \frac{3 π}{4}$ .

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(0; \frac{π}{4})$ và $(\frac{3 π}{4}; π)$ , hàm số nghịch biến trên khoảng $(\frac{π}{4}; \frac{3 π}{4})$ .

Vậy diện tích hình chữ nhật tăng trên các khoảng $(0; \frac{π}{4})$ và $(\frac{3 π}{4}; π)$ , diện tích hình chữ nhật giảm trên khoảng $(\frac{π}{4}; \frac{3 π}{4})$ .