Giải bài 12 trang 12

Chứng minh rằng biểu thức (P = left( {2y - x} right)left( {x + y} right) + xleft( {y - x} right) - 2yleft( {x + 5y} right) - 1)

Đề bài

Chứng minh rằng biểu thức $P = (2 y - x) (x + y) + x (y - x) - 2 y (x + 5 y) - 1$ luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến $x$ và $y$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng các phương pháp cộng, trừ, nhân, chia đa thức để rút gọn biểu thức sau đó chứng minh biểu thức luôn nhận giá trị âm.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l} P = (2 y - x) (x + y) + x (y - x) - 2 y (x + 5 y) - 1 \\ = 2 x y + 2 y^{2} - x^{2} - x y + x y - x^{2} - 2 x y - 10 y^{2} - 1 \\ = - 2 x^{2} - 8 y^{2} - 1 \end{array}$

Do $x^{2} \geq 0, y^{2} \geq 0$ nên $- 2 x^{2} - 8 y^{2} - 1 < 0$ với mọi giá trị của biến $x, y$ .

Vậy $P$ luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến $x$ và $y$ .