Giải bài 12 trang 92

Cho hình thang cân ABCDABCDABCD có AB//CD,AB<CDAB//CD,AB<CDAB//CD,AB < CD, hai đường chéo ACACAC và BDBDBD cắt nhau tại PPP, hai cạnh bên ADADAD và BCBCBC kéo dài cắt nhau tại QQQ.

Đề bài

Cho hình thang cân $A B C D$ có $A B / / C D, A B < C D$ , hai đường chéo $A C$ và $B D$ cắt nhau tại $P$ , hai cạnh bên $A D$ và $B C$ kéo dài cắt nhau tại $Q$ . Chứng minh $P Q$ là đường trung trực của hai đáy hình thang cân $A B C D$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào tính chất của hình thang cân:

- Hai cạnh bên bằng nhau

- Hai đường chéo bằng nhau

Và sử dụng định nghĩa của đường trung trực: đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.

Lời giải chi tiết

$Δ A C D = Δ B D C$ (c.g.c). Suy ra $\hat{P C D} = \hat{P D C}$

Do đó, tam giác $P C D$ cân tại $P$ . Suy ra $P C = P D$

Mà $A C = B D$ , suy ra $P A = P B$

Do $A B / / C D$ nên $\hat{Q A B} = \hat{A D C}; \hat{Q B A} = \hat{B C D}$ (các cặp góc đồng vị)

Mặt khác, $\hat{A D C} = \hat{B C D}$ nên $\hat{Q A B} = \hat{Q B A}$

Do đó, tam giác $Q A B$ cân tại $Q$ . Suy ra $Q A = Q B$

Mà $A D = B C$ , suy ra $Q D = Q C$

Ta có: $P A = P B, P C = P D$ và $Q A = Q B, Q C = Q D$ nên $P Q$ là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng $A B$ và $C D$ .