Giải bài 13 trang 41

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $d:x+6y-5=0.$

a) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O.

b) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm M(4; 6).

Lời giải chi tiết

a) Chọn điểm $A\left(-1;1\right)\in d.$

Ta đặt $A^{\prime }={Đ}_O\left(A\right).$

Suy ra O là trung điểm của AA’.

Do đó $\{\begin{array}{c}{x}_{A^{\prime }}=2x_O-x_A=2.0+1=1\\ y_{A^{\prime }}=2y_O-y_A=2.0-1=-1\end{array}$

Vì vậy A’(1; –1).

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\left(1;6\right)$

Gọi d’ là ảnh của d qua  suy ra d’ là đường thẳng song song hoặc trùng với d nên d’ nhận $\vec{n}=\left(1;6\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy đường thẳng d’ đi qua A’(1; –1) và nhận $\vec{n}=\left(1;6\right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

$1.\left(x-1\right)+6.\left(y+1\right)=0\iff x+6y+5=0.$

b) Ta đặt $A^{\prime \prime }={Đ}_M\left(A\right).$

Suy ra M là trung điểm AA”.

Do đó $\{\begin{array}{c}{x}_{A^{\prime \prime }}=2x_M-x_A=2.4+1=9\\ y_{A^{\prime \prime }}=2y_M-y_A=2.6-1=11\end{array}$

Vì vậy A”(9; 11).

Gọi d” là ảnh của d qua ${Đ}_M,$ suy ra d’’ là đường thẳng song song hoặc trùng với d nên d’’ nhận $\vec{n}=\left(1;6\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy đường thẳng d’’ đi qua A”(9; 11) và nhận $\vec{n}=\left(1;6\right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

$1.\left(x-9\right)+6.\left(y-11\right)=0\iff x+6y-75=0.$