Giải bài 13 trang 63

Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a, b, c, d. Cho mặt phẳng (left( P right)) đi qua ba điểm (Aleft( {0;1;1} right),Bleft( {3;2;2} right),Cleft( {4;3;5} right)). a) Mặt phẳng (left( P right)) có cặp vectơ chỉ phương là (overrightarrow {AB} = left( {3;1;1} right);overrightarrow {AC} = left( {4;2;4} right))

Đề bài

Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a, b, c, d.

Cho mặt phẳng $(P)$ đi qua ba điểm $A (0; 1; 1), B (3; 2; 2), C (4; 3; 5)$ .

a) Mặt phẳng $(P)$ có cặp vectơ chỉ phương là $\vec{A B} = (3; 1; 1); \vec{A C} = (4; 2; 4)$ .

b) Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 4; 1)$ .

c) Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M (1; 2; 4)$ .

d) Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với đường thẳng $d : \frac{x + 2}{1} = \frac{y}{- 4} = \frac{z + 1}{1}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng $(α)$ đi qua điểm $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và biết cặp vectơ chỉ phương $\vec{a}, \vec{b}$ :

Bước 1: Tìm một vectơ pháp tuyến $\vec{n} = [\vec{a}, \vec{b}]$ .

Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng $(α)$ đi qua điểm $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ .

‒ Điểm $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ thuộc mặt phẳng $(P) : A x + B y + C z + D = 0$ nếu $A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D = 0$ .

‒ Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với đường thẳng $d$ nếu hai vectơ $\vec{n_{P}}$ và $\vec{u_{d}}$ cùng phương.

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng $(P)$ có cặp vectơ chỉ phương là $\vec{A B} = (3; 1; 1); \vec{A C} = (4; 2; 4)$ . Vậy a) đúng.

Ta có: $[\vec{A B}, \vec{A C}] = (1.4 - 1.2; 4.1 - 3.4; 3.2 - 1.4) = (2; - 8; 2) = 2 (1; - 4; 1)$ .

Vậy $\vec{n} = (1; - 4; 1)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ . Vậy b) sai.

Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A (0; 1; 1)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; - 4; 1)$ là:

$1 (x - 0) - 4 (y - 1) + 1 (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 4 y + z + 3 = 0$ .

Ta có: $1 - 4.2 + 4 + 3 = 0$ . Do đó mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M (1; 2; 4)$ . Vậy c) đúng.

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; - 4; 1)$ .

Đường thẳng $d : \frac{x + 2}{1} = \frac{y}{- 4} = \frac{z + 1}{1}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; - 4; 1)$ .

Vì $\vec{n} = \vec{u}$ nên mặt phẳng $(P)$ vuông góc với đường thẳng $d$ . Vậy d) đúng.

a) Đ.

b) S.

c) Đ.

d) Đ.