Giải bài 14 trang 100

Cho đường tròn (O; R) và một điểm M bên trong đường tròn đó. Qua M kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau (D thuộc cung nhỏ AB). Vẽ đường kính DE. Chứng minh: a) MA.MB = MC.MD. b) Tứ giác ABEC là hình thang cân. c) Tổng MA2 + MB2 + MC2 + MD2 có giá trị không đổi khi M thay đổi vị trí trong đườn

Đề bài

Cho đường tròn (O; R) và một điểm M bên trong đường tròn đó. Qua M kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau (D thuộc cung nhỏ AB). Vẽ đường kính DE. Chứng minh:

a) MA.MB = MC.MD.

b) Tứ giác ABEC là hình thang cân.

c) Tổng MA² + MB² + MC² + MD² có giá trị không đổi khi M thay đổi vị trí trong đường tròn (O).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào: Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Chứng minh ABEC là hình thang. Sau đó chứng minh $\hat{E B A} = \hat{C A B}$ để ABEC là hình thang cân.

Chứng minh tổng MA² + MB² + MC² + MD² theo R.

Lời giải chi tiết

a) Xét $Δ$ MAC và $Δ$ MDB, ta có $\hat{A M C} = \hat{D M B} = 90^{o}, \hat{A C M} = \hat{D B M} (\frac{1}{2} s đ \overset{⌢}{A D}) .$

Do đó $Δ$ MAC $∽$ $Δ$ MDB, suy ra $\frac{M A}{M D} = \frac{M C}{M B}$ hay MA.MB = MC.MD.

b) Vì DE là đường kính nên ta có $C E ⊥ C D$ .

Mà $A B ⊥ C D$ nên AB // CE, suy ra ABEC là hình thang.

Ta có $\hat{E B A} + \hat{D B M} = 90^{o}; \hat{C A B} + \hat{A C M} = 90^{o}; \hat{A C M} = \hat{D B M}$ , suy ra $\hat{E B A} = \hat{C A B}$ . Vậy ABEC là hình thang cân.

c) Ta có AC = BE (vì ABEC là hình thang cân) và $Δ D B E$ vuông tại B, nên ta có

MA² + MB² + MC² + MD² = AC² + BD² = BE² + BD² = ED² = 4R².

Vậy tổng MA² + MB² + MC² + MD² có giá trị không đổi.