Giải bài 14 trang 48

Lập phương trình mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (Ileft( {1; - 2;4} right)) và vuông góc với hai mặt phẳng (left( Q right):x - y - 2 = 0,left( R right):y + z + 3 = 0).

Đề bài

Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $I (1; - 2; 4)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $(Q) : x - y - 2 = 0, (R) : y + z + 3 = 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương $\vec{u}, \vec{v}$ :

Bước 1: Tìm $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$ .

Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $I (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và nhận $\vec{n}$ làm vectơ pháp tuyến.

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{1}} = (1; - 1; 0)$ .

Mặt phẳng $(R)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{2}} = (0; 1; 1)$ .

Vì $(P)$ vuông góc với hai mặt phẳng $(Q), (R)$ nên vectơ pháp tuyến của $(P)$ vuông góc với cả $\vec{n_{1}}$ và $\vec{n_{2}}$ .

Do đó, $[\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}] = (- 1; - 1; 1)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ .

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:

$- 1 (x - 1) - 1 (y + 2) + 1 (z - 4) = 0 \Leftrightarrow - x - y + z - 5 = 0$ .