Giải bài 14 trang 86

Cho tam giác

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ nhọn có hai đường cao $B E, C F$ cắt nhau tại $H$ . Chứng minh rằng

a) $Δ A E B ∽ Δ A F C$ .

b) $\frac{H E}{H C} = \frac{H F}{H B}$ .

c) $Δ H E F ∽ Δ H C B$

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Nếu tam giác vuông này có một góc nhọn bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

- Nếu $Δ A B C ∽ Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ thì $\frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{A C}{A^{'} C^{'}} = \frac{B C}{B^{'} C^{'}} = k$ .

- Hai tam giác đồng dạng có các góc tương ứng bằng nhau.

Lời giải chi tiết

a) Vì $B E$ là đường cao nên $\hat{A E B} = 90^{\circ}$ ; vì $C F$ là đường cao nên $\hat{A F C} = 90^{\circ}$

Xét tam giác $A E B$ và tam giác $A F C$ có:

$\hat{A}$ (chung)

$\hat{A E B} = \hat{A F C} = 90^{\circ}$ (chứng minh trên)

Suy ra, $Δ A E B ∽ Δ A F C$ (g.g).

b) Vì $Δ A E B ∽ Δ A F C$ nên $\hat{A C F} = \hat{A B E}$ (hai góc tương ứng) hay $\hat{E C H} = \hat{F B H}$ .

Xét tam giác $H E C$ và tam giác $H F B$ có:

$\hat{E C H} = \hat{F B H}$ (chứng minh trên)

$\hat{C E H} = \hat{B F H} = 90^{\circ}$ (chứng minh trên)

Suy ra, $Δ H E C ∽ Δ H F C$ (g.g).

Suy ra, $\frac{H E}{H F} = \frac{H C}{H B}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Hay $\frac{H E}{H C} = \frac{H F}{H B}$ (điều phải chứng minh).

c) Xét tam giác $H E F$ và tam giác $H C B$ có:

$\hat{F H E} = \hat{B H C}$ (hai góc đối đỉnh)

$\frac{H E}{H C} = \frac{H F}{H B}$ (chứng minh trên)

Suy ra, $Δ H E F ∽ Δ H C B$ (c.g.c).