Giải bài 14 trang 9

Tìm nguyên hàm (Fleft( x right)) của hàm số (fleft( x right) = 4{x^3} + 3{{rm{x}}^2}), biết (Fleft( 1 right) - f'left( 1 right) = - 16).

Đề bài

Tìm nguyên hàm $F (x)$ của hàm số $f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2}$ , biết $F (1) - f^{'} (1) = - 16$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng tính chất của nguyên hàm: Cho hàm số $y = f (x), y = g (x)$ liên tục trên $K$ .

• $\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$ với $k$ là hằng số khác 0.

• $\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$ .

• $\int [f (x) - g (x)] d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x$ .

‒ Sử dụng công thức $\int F^{'} (x) d x = F (x) + C$ với $F (x)$ là hàm số có đạo hàm liên tục.

Lời giải chi tiết

$F (x) = \int (4 x^{3} + 3 x^{2}) d x = \int 4 x^{3} d x + \int 3 x^{2} d x$

$= \int {(x^{4})}^{'} d x + \int {(x^{3})}^{'} d x = x^{4} + x^{3} + C$ .

$f^{'} (x) = 12 x^{2} + 6 x$ .

$F (1) - f^{'} (1) = - 16$

$\Leftrightarrow (1^{4} + 1^{3} + C) - ({12.1}^{2} + 6.1) = - 16$

$\Leftrightarrow C = 0$ .

Vậy $F (x) = x^{4} + x^{3}$ .