Giải bài 14 trang 92

Cho tam giác ABCABCABC cân tại AAA. Lấy điểm M,NM,NM,N lần lượt trên cạnh AB,ACAB,ACAB,AC sao cho AM=ANAM=ANAM = AN.

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$ . Lấy điểm $M, N$ lần lượt trên cạnh $A B, A C$ sao cho $A M = A N$ .

a) Chứng minh tứ giác $B M N C$ là hình thang cân

b) Xác định vị trí các điểm $M, N$ để $B M = M N = N C$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào định nghĩa của hình thang cân:

- Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song

- Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Lời giải chi tiết

a) Vì hai tam giác $A M N$ và $A B C$ đều cân tại $A$ nên

$\hat{A M N} = \hat{A B C}$ (cùng bằng $\frac{180^{\circ} - \hat{A}}{2}$ )

Mà $\hat{A M N}$ và $\hat{A B C}$ nằm ở vị trí đồng vị, suy ra $M N / / B C$ .

Tứ giác $B M N C$ có $M N / / B C$ và $\hat{M B C} = \hat{N C B}$ nên $B M N C$ là hình thang cân.

b) Do $B M = M N$ nên tam giác $M B N$ cân tại $M$ . Suy ra $\hat{M N B} = \hat{M B N}$ . Mà $\hat{M N B} = \hat{N B C}$ (hai góc so le trong), suy ra $\hat{M B N} = \hat{N B C}$ . Do đó, $B N$ là tia phân giác của góc $A B C$ .

Chứng minh tương tự ta được $C M$ là tia phân giác của góc $A C B$ .

Dễ thấy, nếu các điểm $M, N$ được xác định sao cho $B M, C N$ lần lượt là tia phân giác của góc $A B C, A C B$ thì $B N = M N = C N$ .

Vậy $M$ là giao điểm của $A B$ và tia phân giác của góc $A C B, N$ là giao điểm của $A C$ và tia phân giác của góc $A B C$ thì $B N = M N = C N$ .