Giải bài 15 trang 111

Đề bài

Cho hình vuông ABCD với tâm O. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AD, DC, CB, BA (Hình 15).

a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông.

b) Phép quay ngược chiều 90° tâm O biến các điểm O, D, N tương ứng thành các điểm nào?

c) Chỉ ra các phép quay tâm O giữ nguyên hình vuông MNPQ.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh MN = MQ và MN ⊥ MQ để suy ra MNPQ là hình vuông

Dựa vào phép quay thuận chiều $α^{o}$ ( $0^{o} < α^{o} < 360^{o}$ ) tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm M (khác điểm O) thành điểm M’ thuộc đường tròn (O; OM) sao cho tia OM quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia OM’ thì điểm M tạo nên cung MnM’ có số đo $α^{o}$ .

Dựa vào phép quay thuận chiều $α^{o}$ ( $0^{o} < α^{o} < 360^{o}$ ) tâm O được phát biểu tương tự như trên.

Lời giải chi tiết

a) Xét ∆ABC có Q, P lần lượt là trung điểm của AB, BC nên QP là đường trung bình của tam giác, do đó QP // AC và $Q P = \frac{1}{2} A C$ .

Tương tự, ta có: MN là đường trung bình của tam giác ACD, do đó MN // AC và $M N = \frac{1}{2} A C$ .

Do đó MNPQ là hình bình hành.

Mặt khác, ta cũng chứng minh được MQ là đường trung bình của ∆ABD nên

$M Q = \frac{1}{2} B D$ .

Lại có ABCD là hình vuông nên AC = BD và AC ⊥ BD.

Suy ra MN = MQ và MN ⊥ MQ.

Khi đó hình bình hành MNPQ là hình vuông.

b) Phép quay ngược chiều 90° tâm O biến điểm O tương ứng thành chính nó.

Do ABCD là hình vuông tâm O nên OA = OB = OC = OD.

Theo câu a, ta có $\hat{A O D} = 90^{o}$ .

Do đó, tia OD quay ngược chiều 90° tâm O đến tia OA.

Tương tự, đối với hình vuông MNPQ ta cũng có ON = OM và $\hat{N O M} = 90^{o}$ nên tia ON quay ngược chiều 90° tâm O đến tia OM.

Vậy phép quay ngược chiều 90° tâm O biến các điểm O, D, N tương ứng thành các điểm O, A, M.

c) Các phép quay tâm O giữ nguyên hình vuông MNPQ là các phép quay thuận chiều α° tâm O và các phép quay ngược chiều α° tâm O, với α° lần lượt nhận các giá trị:

α₁° = 90°; α₂° = 180°; α₃° = 270°; α₄° = 360°.