Giải bài 15 trang 51

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có $A B = 6 c m, A C = 8 c m$ . Tia phân giác của $\hat{A B C}$ cắt AC tại D.

a) Tính độ dài DA, DC.

b) Tia phân giác của $\hat{A C B}$ cắt BD ở I. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh $\hat{B I M} = 90^{0}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về tính chất của đường phân giác của tam giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề đoạn ấy.

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A có: $B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = 10 (c m)$

Vì BD là tia phân giác của góc ABC trong tam giác ABC nên theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có: $\frac{D A}{D C} = \frac{B A}{B C} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Do đó, $\frac{D A}{3} = \frac{D C}{5} = \frac{A C}{8} = 1$ . Suy ra: $D A = 3 c m, D C = 5 c m$

b) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABD vuông tại A có: $B D = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} = 3 \sqrt{5} (c m)$

Vì CI là đường phân giác của góc DCB trong tam giác BCD nên theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có: $\frac{I D}{I B} = \frac{D C}{B C} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ , suy ra $\frac{I D}{1} = \frac{I B}{2} = \frac{B D}{3} = \sqrt{5}$

Suy ra: $I D = \sqrt{5} c m, I B = 2 \sqrt{5} c m$

Chứng minh $Δ I D C = Δ I M C (c - g - c)$ nên $I M = I D = \sqrt{5} c m$

Vì $I M^{2} + I B^{2} = 25 = M B^{2}$ nên tam giác IMB vuông tại I (định lí Pythagore đảo). Do đó, $\hat{B I M} = 90^{0}$