Giải bài 15 trang 60

Đề bài

Cho tứ giác $ABCD$ có $AC$ và $BD$ cắt nhau tại . Qua $O$, kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB$ tại $E$, kẻ đường thẳng song song với $CD$ cắt $AD$ tại $F$.

a) Chứng minh: $EF//BD$;

b) Từ $O$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $BC$ tại $G$ và đường thẳng song song với $AD$ cắt $CD$ tại $H$. Chứng minh rằng $CG.DH=BG.CH$.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác $ADC$ có $OF//DC$, theo định lí Thales ta có:

$\frac{AF}{AD}=\frac{AO}{AC}$ (1)

Xét tam giác $ABC$ có $OE//BC$, theo định lí Thales ta có:

$\frac{AE}{AB}=\frac{AO}{AC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra, $\frac{AF}{AD}=\frac{AE}{AB}$

Xét tam giác $ABD$ có:

$\frac{AF}{AD}=\frac{AE}{AB}$

Theo định lí Thales đảo suy ra $EF//BD$.

b) Xét tam giác $ADC$ có $OH//AD$, theo định lí Thales ta có:

$\frac{CH}{CD}=\frac{CO}{AC}$ (3)

Xét tam giác $ABC$ có $OG//AB$, theo định lí Thales ta có:

$\frac{CG}{BC}=\frac{CO}{AC}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra, $\frac{CH}{CD}=\frac{CG}{BC}$

Theo định lí Thales đảo suy ra $GH//BD$.

Xét tam giác $BCD$ có $GH//BD$, theo định lí Thales ta có:

$\frac{CH}{DH}=\frac{CG}{BG}\Rightarrow CH.BG=DH.CG$ (điều phải chứng minh).