Giải bài 15 trang 65

Ở một gian hàng của siêu thị, người ta xếp các khối hàng hình lập phương giống nhau thành hình tháp n tầng, với tầng đáy thứ n có n khối hàng, tầng ngay trên tầng đáy có (n − 1) khối hàng, ..., tầng trên cùng có 1 khối hàng (chẳng hạn với n = 8 ta có cách xếp như minh hoạ ở Hình 7). a) Tính tổng số

Đề bài

a) Tính tổng số S các khối hàng đã xếp ở một hình tháp n tầng.

b) Tìm n, biết S = 120.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Thứ tự hàng bằng số khối ở mỗi hàng, vì vậy tháp n tầng ta lập được tổng gồm n số hạng từ 1 đến n.

b) Từ công thức tìm được ở câu a, thay S = 120 vào ta tìm được n.

Lời giải chi tiết

a) Tổng số S các khối hàng đã xếp ở một hình tháp n tầng là:

$S = 1 + 2 + 3 + . . . + (n - 1) + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ khối hàng.

b) Với S = 120 ta có $120 = \frac{n (n + 1)}{2}$ hay $n (n + 1) = 240$ , do đó $n^{2} + n - 240 = 0$ .

Phương trình có các hệ số $a = 1; b = 1; c = - 240$

$Δ = 1^{2} - 4.1. (- 240) = 961 > 0$

Do $Δ > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:

$n_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{961}}{2.1} = - 16; n_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{961}}{2.1} = 15$

Ta thấy $n = - 16$ không thỏa mãn và $n = 15$ thỏa mãn.

Vậy $n = 15$ với S = 120.