Giải bài 15 trang 85

Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh tanˆB2=ACAB+BCtan⁡B^2=ACAB+BC\tan \frac{{\widehat B}}{2} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh $\tan \frac{\hat{B}}{2} = \frac{A C}{A B + B C}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Kẻ đường phân giác BD.

Bước 2: Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông ABD: $\tan B_{1} = \frac{A D}{A B}$ .

Bước 3: Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác suy ra $\frac{A D}{A B} = \frac{C D}{B C}$ .

Bước 4: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{A D}{A B} = \frac{C D}{B C} = \frac{A D + C D}{A B + B C} = \frac{A C}{A B + B C}$

Lời giải chi tiết

Kẻ đường phân giác BD của tam giác ABC. Khi đó ta có $\hat{B_{1}} = \hat{B_{2}} = \frac{\hat{B}}{2}$ .

Vì tam giác ABD vuông tại A, ta có $\tan B_{1} = \frac{A D}{A B}$ (1)

Mà AD là đường phân giác của tam giác ABC nên ta có $\frac{A D}{C D} = \frac{A B}{B C}$ , suy ra $\frac{A D}{A B} = \frac{C D}{B C}$ .

Do đó $\frac{A D}{A B} = \frac{C D}{B C} = \frac{A D + C D}{A B + B C} = \frac{A C}{A B + B C}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $\tan B_{1} = \tan \frac{\hat{B}}{2} = \frac{A D}{A B} = \frac{A C}{A B + B C}$ .