Giải bài 15 trang 86

Cho tam giác

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ nhọn có hai đường cao $B M, C N$ cắt nhau tại $H$ .

a) Chứng minh rằng $Δ A M N ∽ Δ A B C$ .

b) Phân giác của $\hat{B A C}$ cắt $M N$ và $B C$ lần lượt tại $I$ và $K$ . Chứng minh rằng $\frac{I M}{I N} = \frac{K B}{K C}$ .

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác góc – góc.

- Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác cạnh – góc – cạnh.

- Hai tam giác đồng dạng thì chúng có các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ.

- Tính chất đường phân giác.

Lời giải chi tiết

a) Vì $B M$ là đường cao nên $\hat{A M B} = 90^{\circ}$ ; vì $C N$ là đường cao nên $\hat{A N C} = 90^{\circ}$

Xét tam giác $A M B$ và tam giác $A N C$ có:

$\hat{A}$ (chung)

$\hat{A N B} = \hat{A N C} = 90^{\circ}$ (chứng minh trên)

Suy ra, $Δ A M B ∽ Δ A N C$ (g.g).

Suy ra, $\frac{A M}{A N} = \frac{A B}{A C}$ (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ).

Do đó, $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$ (tỉ lệ thức)

Xét tam giác $A M N$ và tam giác $A B C$ có:

$\hat{A}$ (chung)

$\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$ (chứng minh trên)

Suy ra, $Δ A M N ∽ Δ A B C$ (c.g.c).

b) Xét tam giác $A M N$ có $A I$ là đường phân giác của $\hat{M A N} (I \in M N)$ .

Theo tính chất đường phân giác ta có:

$\frac{I M}{I N} = \frac{A M}{A N}$

Xét tam giác $A B C$ có $A K$ là đường phân giác của $\hat{B A C} (K \in B C)$ .

Theo tính chất đường phân giác ta có:

$\frac{B K}{K C} = \frac{A B}{A C}$

Mà $\frac{A M}{A N} = \frac{A B}{A C}$ (chứng minh trên) nên $\frac{I M}{I N} = \frac{K B}{K C}$ (điều phải chứng minh).