Giải bài 15 trang 89

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có hai đường cao BD và CE. a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn. b) Vẽ đường tròn (B; BD). Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (B; BD). c) Đường tròn (B; BD) cắt CE tại K (K nằm giữa E và C). Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC tại H và cắt

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có hai đường cao BD và CE.

a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn.

b) Vẽ đường tròn (B; BD). Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (B; BD).

c) Đường tròn (B; BD) cắt CE tại K (K nằm giữa E và C). Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC tại H và cắt đường thẳng AB tại M. Chứng minh $\hat{B M H} = \hat{B K H}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh tam giác BEC và tam giác BDC nội tiếp đường tròn đường kính BC. Từ đó suy ra bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

Chứng minh BD $⊥$ AC tại D suy ra AC là tiếp tuyến của đường tròn (B; BD).

Chứng minh $\hat{B M H} = \hat{B K H}$ dựa vào hai tam giác đồng dạng.

Lời giải chi tiết

a) Ta có tam giác BEC vuông tại E nên nội tiếp đường tròn đường kính BC. (1)

Tam giác BDC vuông tại D nên nội tiếp đường tròn đường kính BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

b) Ta có BD là bán kính đường tròn (B; BD) và BD $⊥$ AC nên AC là tiếp tuyến của đường tròn (B; BD).

c) Ta có $Δ B H D ∽ Δ B D C$ (g.g), suy ra BD² = BH.BC.

Ta lại có BD = BK (bán kính đường tròn (B;BD)) nên BK² = BH.BC.

Suy ra $Δ B H K ∽ Δ B K C$ (c.g.c), do đó $\hat{B K H} = \hat{B C K}$

Mà $\hat{B M H} = \hat{B C K}$ (cùng phụ với $\hat{A B C}$ ) nên $\hat{B M H} = \hat{B K H}$ .