Giải bài 16 trang 74

Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm M và N sao cho (BM = DN)

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm M và N sao cho $B M = D N$

a) Chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình bình hành.

b) Xác định vị trí của điểm M để tia AM cắt BC tại trung điểm của BC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng kiến thức về dấu hiệu nhận biết hình bình hành để chứng minh: Tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

b) Sử dụng kiến thức về tính chất hình bình hành để chứng minh: Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Lời giải chi tiết

a) Vì ABCD là hình bình hành nên $A B = C D$ , AB//CD. Do đó, $\hat{M B A} = \hat{N D C}$ (hai góc so le trong)

Tam giác AMB và tam giác CND có:

$A B = C D$ (cmt), $\hat{M B A} = \hat{N D C}$ , $B M = D N$ (gt)

Do đó, $Δ A M B = Δ C N D (c - g - c)$ nên $A M = C N$

Chứng minh tương tự ta có: $Δ A N D = Δ C M B (c - g - c)$ nên $A N = C M$

Tứ giác AMCN có: $A M = C N$ , $A N = C M$ nên tứ giác AMCN là hình bình hành.

b) Gọi E là giao điểm của AM và BC, O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC

Để E là trung điểm của của BC thì AE là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Lại có BO là trung tuyến của tam giác ABC.

M là giao điểm của EA và BO nên M là trọng tâm của tam giác ABC. Do đó, $M B = \frac{2}{3} B O$

Mà $B O = \frac{1}{2} B D$ nên $M B = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} B D = \frac{1}{3} B D$

Vậy khi M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho $M B = \frac{1}{3} B D$ thì tia AM cắt BC tại trung điểm của BC.