Giải bài 16 trang 86

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A\left(AB<AC\right)$. Kẻ đường cao $AH\left(H\in BC\right)$.

a) Chứng minh rằng $\Delta ABH\backsim \Delta CBA$, suy ra $A{B}^2=BH.BC$.

b) Vẽ $HE$ vuông góc với $AB$ tại $E$, vẽ $HF$ vuông góc với $AC$ tại $F$. Chứng minh rằng $AE.AB=AF.AC$.

c) Chứng minh rằng $\Delta AFE\backsim \Delta ABC$.

d) Qua $A$ vẽ đường thẳng song song với $BC$ cắt đường thẳng $HF$ tại $I$. Vẽ $IN$ vuông góc với $BC$ tại $N$. Chứng minh rằng $\Delta HNF\backsim \Delta HIC$.

Lời giải chi tiết

a) Vì $AH$ là đường cao nên $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}={90}^{\circ }$

Xét tam giác $ABH$ và tam giác $CBA$ có:

$\hat{B}$ (chung)

$\widehat{AHB}=\widehat{CAB}={90}^{\circ }$ (chứng minh trên)

Suy ra, $\Delta ABH\backsim \Delta CBA$ (g.g).

Do đó, $\frac{AB}{CB}=\frac{BH}{AB}$ (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Suy ra, $A{B}^2=BH.BC$ .

b)

-  Vì $HE$ vuông góc với $AB$ nên $\widehat{HEA}=\widehat{HEB}={90}^{\circ }$

Xét tam giác $AHE$ và tam giác $ABH$ có:

$\widehat{HAE}$ (chung)

$\widehat{HEA}=\widehat{AHB}={90}^{\circ }$ (chứng minh trên)

Suy ra, $\Delta AHE\backsim \Delta ABH$ (g.g).

Do đó, $\frac{AH}{AB}=\frac{AE}{AH}$ (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Suy ra, $A{H}^2=AB.AE$ . (1)

- Vì $HF$ vuông góc với $AC$ nên $\widehat{HFC}=\widehat{HFA}={90}^{\circ }$

Xét tam giác $AHF$ và tam giác $ACH$ có:

$\widehat{HAF}$ (chung)

$\widehat{AFH}=\widehat{AHC}={90}^{\circ }$ (chứng minh trên)

Suy ra, $\Delta AHF\backsim \Delta ACH$ (g.g).

Do đó, $\frac{AH}{AC}=\frac{AF}{AH}$ (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Suy ra, $A{H}^2=AF.AC$ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra, $AE.AB=AF.AC$ (điều phải chứng minh)

c) Vì $AE.AB=AF.AC\Rightarrow \frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}$.

Xét tam giác $AFE$ và tam giác $ABC$ có:

$\hat{A}$ (chung)

$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}$ (chứng minh trên)

Suy ra, $\Delta AFE\backsim \Delta ABC$ (c.g.c).

d) Vì $HF$ vuông góc với $AC$ nên $CF\perp HI$, do đó, $\widehat{CFH}=\widehat{CFI}={90}^{\circ }$.

Vì $IN\perp CH\Rightarrow \widehat{CNI}=\widehat{HNI}={90}^{\circ }$.

Xét tam giác $HFC$ và tam giác $HNI$ có:

$\widehat{CHI}$ (chung)

$\widehat{HFC}=\widehat{HNI}={90}^{\circ }$ (chứng minh trên)

Suy ra, $\Delta HFC\backsim \Delta HNI$ (g.g).

Suy ra, $\frac{HF}{HN}=\frac{HC}{HI}$ (hai cặp cạnh tương ứng cùng tỉ lệ)

Do đó, $\frac{HF}{HC}=\frac{HN}{HI}$.

Xét tam giác $HNF$ và tam giác $HIC$ có:

$\widehat{CHI}$ (chung)

$\frac{HF}{HC}=\frac{HN}{HI}$ (chứng minh trên)

Suy ra, $\Delta HNF\backsim \Delta HIC$ (c.g.c).