Giải bài 16 trang 89

Đề bài

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm E sao cho BE = AC. Tia AC và tia BD cắt nhau tại M. Vẽ EH vuông góc với AC tại H. Tia phân giác của góc $\hat{B A C}$ cắt EH tại K và cắt đường tròn (O) tại D. Tia CK cắt AB tại I và cắt đường tròn (O) tại F.

a) Chứng minh EH // BC.

b) Tính số đo của $\hat{A M B}$ .

c) Chứng minh $\hat{A E K} = \hat{A F K}$ .

d) Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng AE.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh $B C ⊥ A C$ và $E H ⊥ A C$ để suy ra EH // BC.

Tính $\hat{M B A}$ theo $\hat{M B C}$ và $\hat{C B A}$ .

Dựa theo hai góc đồng vị và hai góc chắn cung AC.

Chứng minh AI = IE suy ra I là trung điểm của đoạn thẳng AE.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $\hat{A C B} = 90^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra $B C ⊥ A C$ .

Mà $E H ⊥ A C$ (gt), suy ra EH // BC.

b) Vì AD là tia phân giác của $\hat{B A C}$ (gt) nên $\hat{C A D} = \hat{B A D}$ , suy ra $s \overset{⌢}{C D} = s \overset{⌢}{B D} = 45^{o} .$

Suy ra $\hat{M A B} = 45^{o}$ ;

$\hat{M B A} = \hat{M B C} + \hat{C B A} = 22, 5^{o} + 45^{o} = 67, 5^{o}$

c) Vì EH // BC nên $\hat{A E K} = \hat{A B C}$ (hai góc đồng vị).

Ta có $\hat{A F K} = \hat{A F C} = \hat{A B C}$ (cùng chắn cung AC).

Suy ra $\hat{A E K} = \hat{A F K}$ .

d) Tam giác AIC có AK là tia phân giác $\hat{C A I}$ , suy ra $\frac{A I}{A C} = \frac{K I}{K C}$ (1).

Tam giác CIB có EK // CB suy ra $\frac{I E}{B E} = \frac{K I}{K C}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{A I}{A C} = \frac{I E}{B E}$ . Mà AC = BE (gt) nên AI = IE.

Vậy I là trung điểm của đoạn thẳng AE.