Giải bài 17 trang 48

Cho hình chóp (S.ABC) thoả mãn (widehat {ASB} = widehat {BSC} = widehat {CSA} = {90^ circ }). Gọi (H) là hình chiếu vuông góc của (S) trên mặt phẳng (left( {ABC} right)). Chứng minh rằng (frac{1}{{S{H^2}}} = frac{1}{{S{A^2}}} + frac{1}{{S{B^2}}} + frac{1}{{S{C^2}}}).

Đề bài

Cho hình chóp $S . A B C$ thoả mãn $\hat{A S B} = \hat{B S C} = \hat{C S A} = 90^{\circ}$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(A B C)$ . Chứng minh rằng

$\frac{1}{S H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{S B^{2}} + \frac{1}{S C^{2}}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gắn vào hệ trục toạ độ và sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

Đặt $S A = a, S B = b, S C = c (a, b, c > 0)$ . Vì các đường thẳng $S A, S B, S C$ đôi một vuông góc nên có thể gắn hệ trục toạ độ $O x y z$ thoả mãn $S (0; 0; 0), A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)$ .

Phương trình mặt phẳng $(A B C)$ là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ hay $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0$ .

Khi đó: $S H = d (S, (A B C)) = \frac{| \frac{0}{a} + \frac{0}{b} + \frac{0}{c} - 1 |}{\sqrt{{(\frac{1}{a})}^{2} + {(\frac{1}{b})}^{2} + {(\frac{1}{c})}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}}}$ .

Vậy $\frac{1}{S H^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{S B^{2}} + \frac{1}{S C^{2}}$ .