Giải bài 17 trang 90

Cho tam giác ABC cân ở A, H là trung điểm của BC và (widehat {BAC} < {90^o}). Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC ở D. Kẻ DE vuông góc với AC. Chứng minh: a) AH = EH b) (widehat {DCE} = widehat {ABD}).

Đề bài

Cho tam giác ABC cân ở A, H là trung điểm của BC và $\hat{B A C} < 90^{o}$ . Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC ở D. Kẻ DE vuông góc với AC. Chứng minh:

a) AH = EH

b) $\hat{D C E} = \hat{A B D}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh tam giác HAE cân tại H suy ra AH = EH.

Sử dụng tính chất bắc cầu: $\hat{D C E} = \hat{A C H}$ mà $\hat{A C H} = \hat{A B H}$ nên $\hat{D C E} = \hat{A B D}$

Lời giải chi tiết

a) Do tam giác ABC cân tại A và H là trung điểm của BC nên $\hat{B A H} = \hat{H A C}$ (1). Vì các tam giác AHD và AED lần lượt vuông tại H và E nên tứ giác AHED nội tiếp đường tròn đường kính AD suy ra $\hat{A D H} = \hat{A E H}$ (2). Mặt khác $\hat{A D H} = \hat{B A H}$ (3) (vì cùng cộng với $\hat{H A C}$ bằng 90^o).

Từ (1), (2), (3) suy ra $\hat{H A C} = \hat{A E H}$ . Do đó, tam giác HAE cân tại H. Vì vậy AH = EH.

b) Ta có $\hat{D C E} = \hat{A C H}$ (đối đỉnh) mà $\hat{A C H} = \hat{A B H}$ (do tam giác ABC cân tại A) nên $\hat{D C E} = \hat{A B H}$ hay $\hat{D C E} = \hat{A B D}$ .