Giải bài 18 trang 42

Đề bài

Cho tam giác ABC có góc B, góc C đều là góc nhọn. Nêu cách vẽ hình chữ nhật DEFG có đỉnh D, đỉnh E thuộc cạnh BC, đỉnh F, đỉnh G thuộc cạnh AC, AB và có EF = 2DE.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào phép vị tự để làm: Cho điểm O cố định và một số thực k, $k \neq 0$ . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho $\vec{O M^{'}} = k \vec{O M}$ được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k, kí hiệu $V_{(O, k)}$ . O được gọi là tâm vị tự, k gọi là tỉ số vị tự.

Lời giải chi tiết

⦁ Phân tích:

Lấy điểm G’ bất kì trên AB.

Dựng hình chữ nhật D’E’F’G’ có $E^{'} F^{'} = 2 D^{'} E^{'}$ và hai đỉnh D’, E’ thuộc BC.

Đường thẳng BF’ cắt AC tại F.

Do D’E’F’G’ là hình chữ nhật nên $G^{'} D^{'} ⊥ D^{'} E^{'}$ hay $G^{'} D^{'} ⊥ B C .$

Mà GD ⊥ BC (do DEFG là hình chữ nhật).

Nên G’D’ // GD.

Chứng minh tương tự, ta được E’F’ // EF.

Vì D’E’F’G’ là hình chữ nhật nên G’F’ // D’E’ hay G’F’ // BC.

Mà GF // BC (do DEFG là hình chữ nhật).

Suy ra GF // G’F’.

Áp dụng định lí Thales, ta được $\frac{B G}{B G^{'}} = \frac{B F}{B F^{'}}$

Suy ra $B F^{'} = \frac{B G^{'}}{B G} . B F$

Mà $\vec{B F^{'}}, \vec{B F}$ cùng hướng.

Do đó $\vec{B F^{'}} = \frac{B G^{'}}{B G} . \vec{B F}$

Vì vậy $F^{'} = V_{(B, \frac{B G^{'}}{B G})} (F) (1)$

Chứng minh tương tự, ta được $D^{'} = V_{(B, \frac{B G^{'}}{B G})} (D)$ và $E^{'} = V_{(B, \frac{B G^{'}}{B G})} (E) (2)$

Lại có $G^{'} = V_{(B, \frac{B G^{'}}{B G})} (G) (3)$

Từ (1), (2), (3), ta thu được $V_{(B, \frac{B G^{'}}{B G})}$ biến hình chữ nhật D’E’F’G’ thành hình chữ nhật DEFG. Từ đó, ta suy ra cách dựng hình chữ nhật DEFG.

⦁ Cách dựng:

Lấy điểm G’ tùy ý trên AB.

Dựng hình chữ nhật D’E’F’G’ có E’F’ = 2D’E’, hai đỉnh D’, E’ nằm trên BC.

Đường thẳng BF’ cắt AC tại F.

Đường thẳng qua F song song với BC cắt AB tại G.

Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của G, F lên BC.

Vậy ta đã dựng xong hình chữ nhật DEFG.